Posterior a de una extensa compilación de datos pudimos resolver este disgusto que tienen algunos usuarios. Te brindamos la solución y deseamos que te resulte de gran ayuda.
Solución:
Algunos key cosas para recordar acerca de las derivadas parciales son:
- Necesita tener una función de una o más variables.
- Debe tener muy claro cuál es esa función.
- Solo puede tomar derivadas parciales de esa función con respecto a cada una de las variables de las que es función.
Entonces, para su Ejemplo 1, $ z = xa + x $, si lo que quiere decir con esto es definir $ z $ como una función de dos variables, $$ z = f (x, a) = xa + x, $$ entonces $ frac partial z partial x = a + 1 $ y $ frac dz dx = a + 1 + x frac da dx, $ como supusiste, aunque también podría haber obtenido ese último resultado considerando $ a $ como una función de $ x $ y aplicando la regla de la cadena.
Pero cuando escribimos algo como $ y = ax ^ 2 + bx + c, $ y decimos explícitamente que $ a $, $ b $ y $ c $ son constantes (posiblemente arbitrarias), $ y $ en realidad es solo una función de una variable: $$ y = g (x) = ax ^ 2 + bx + c. $$ Claro, puedes decir que $ frac parcial y parcial x $ es lo que sucede cuando varías $ x $ mientras mantiene $ a $, $ b $ y $ c $ constantes, pero eso es tan significativo como decir que varía $ x $ mientras mantiene constante el número $ 3 $.
Supongo que técnicamente $ frac partial y partial x $ está definido incluso si $ y $ es una función de una sola variable de $ x $, pero entonces sería $ frac dy dx $ (la derivada ordinaria), y no recuerdo haber visto algo así escrito como una derivada parcial. No permitiría hacer nada que no pueda hacer con la derivada ordinaria y podría confundir a la gente (que podría intentar adivinar de qué otras variables $ y $ es una función).
El párrafo anterior implica que la respuesta a su Ejemplo 3 es “sí”. También sugiere por qué casi escribí “una función de dos o más variables” como parte del primer requisito para usar derivadas parciales. Técnicamente creo que tu solo necesitar una función de una o más variables, pero debe querer una función de al menos dos variables antes de pensar en tomar derivadas parciales.
Para el ejemplo 2, donde tenemos $ x ^ 2 + y ^ 2 = 1 $, no es obvio cuál es la función de la que obtendríamos derivadas parciales. O $ x $ o $ y $ podrían ser una función del otro. (La función se definiría solo en un dominio limitado y produciría solo algunos de los puntos que satisfacen la ecuación, pero aún puede ser útil hacer algún análisis en esas condiciones). Si escribe algo además de la ecuación para hacerlo claro que (digamos) $ y $ es una función de $ x $, dando una idea suficientemente clara cuales
de las posibles funciones de $ x $ quieres decir, entonces creo que técnicamente podrías escribir $ frac parcial y parcial x $, e incluso podrías encontrar que $ frac parcial y parcial x = 2x $, pero nuevamente esto es un gran problema y confusión para obtener un resultado que podría obtener simplemente usando derivadas ordinarias.
Por otro lado, supongamos que decimos que $$ h (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2 – 1, $$ y nos interesan los puntos que satisfacen $ x ^ 2 + y ^ 2 = 1 $ , es decir, donde $ h (x, y) = 0 $.
Ahora tenemos una función de múltiples variables, por lo que podemos hacer cosas interesantes con derivadas parciales, como calcular $ frac partical h partial x $ y $ frac partial h partial y $ y quizás usarlos para buscar trayectorias en el plano $ x, y $ a lo largo del cual $ h $ es constante. Bien, realmente no necesitamos derivadas parciales para averiguar que esas trayectorias se ejecutarán a lo largo de arcos circulares, pero podríamos tener alguna otra función de dos variables donde la respuesta no sea tan obvia.
Espero que esto responda tu pregunta.
La notación de derivada parcial se utiliza para especificar la derivada de una función de más de una variable con respecto a una de sus variables.
Por ejemplo, sea y una función de 3 variables tales que $ y (s, t, r) = r ^ 2 – srt $
$$ frac parcial y parcial r = 2r-st $$
La notación $ frac d dx $ se usa cuando la función que se va a diferenciar es solo de una variable, por ejemplo, $ y (x) = x ^ 2 implica frac dy dx = 2x $
Espero que esto te lo aclare un poco.
Entonces, en realidad, ambos significan lo mismo, pero uno se usa dentro del contexto del cálculo multivariable mientras que el otro se reserva para el cálculo univariante.
La etiqueta (cálculo de variaciones) parece no ser la más popular, por lo que tal vez necesite más publicidad (-:
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Intuición detrás del principio variacional
Grave. Las ecuaciones de Euler-Lagrange asociadas con el cálculo de variaciones proporcionan un ejemplo, donde ambos se trata de una diferenciación parcial y común. Por eso podría ayudar aquí.
Sea una curva $ vec q (t) $ y una función de valor real $ L $ con los siguientes argumentos:
esta curva, la derivada del tiempo $ dot vec q (t) $ de la curva y el tiempo $ t $ mismo.
Minimice la siguiente integral como función / funcional de la curva $ vec q (t) $: $$ W left ( vec q, dot vec q right) = int_ t_1 ^ t_2 L left ( vec q, dot vec q, t right) dt = mbox mínimo $$ Se demuestra en la referencia que la curva minimizando la integral $ W $ viene dada por el siguiente sistema de mixed ecuaciones diferenciales parciales comunes, una para cada una de las coordenadas $ q_k (t) $ de la curva $ vec q (t) $: $$ frac parcial L parcial q_k – frac d dt left ( frac partial L partial dot q _k right) = 0 $$ Estas son las bien conocidas ecuaciones de Euler-Lagrange. Se especifican para el siguiente problema: encuentre todas las curvas en el plano euclidiano para las que largo $ W $ entre dos puntos finales dados es mínimo. Esto hace que $ vec q = (x, y) $ y $ dot vec q = ( dot x, dot y) $ en: $$ W = int_ t_1 ^ t_2 L ( dot x, dot y) dt = mbox mínimo qquad mbox con quad L ( dot x, dot y) = sqrt dot x ^ 2 + dot y ^ 2 $$ Dando para las ecuaciones de Euler-Lagrange: $$ frac partial L partial x – frac d dt izquierda ( frac L parcial punto parcial x derecha) = 0 \ frac L parcial y parcial – frac d dt izquierda ( frac parcial L parcial punto y derecha) = 0 $$
Derivadas parciales. Obviamente: $$ frac parcial L parcial x = frac parcial L parcial y = 0 $$ Algo menos obvio: $$ frac parcial sqrt dot x ^ 2 + dot y ^ 2 parcial dot x = frac dot x sqrt dot x ^ 2 + dot y ^ 2 \ frac parcial sqrt dot x ^ 2 + dot y ^ 2 parcial dot y = frac dot y sqrt dot x ^ 2 + dot y ^ 2 $$
Derivados comunes: $$ frac d dt frac dot x sqrt dot x ^ 2 + dot y ^ 2 = frac ddot x sqrt dot x ^ 2 + dot y ^ 2 – dot x left ( dot x ddot x + dot y ddot y derecha) / sqrt dot x ^ 2 + dot y ^ 2 left ( sqrt dot x ^ 2 + dot y ^ 2 right) ^ 2 = dot y frac dot y ddot x – dot x ddot y left ( dot x ^ 2 + dot y ^ 2 right) ^ 3/2 = – kappa , dot y \ frac d dt frac dot y sqrt dot x ^ 2 + dot y ^ 2 = frac ddot y sqrt dot x ^ 2 + dot y ^ 2 – dot y left ( dot x ddot x + dot y ddot y right) / sqrt dot x ^ 2 + dot y ^ 2 left ( sqrt dot x ^ 2 + dot y ^ 2 right) ^ 2 = dot x frac dot x ddot y – dot y ddot x left ( dot x ^ 2 + dot y ^ 2 right) ^ 3/2 = + kappa , dot x $$ Donde $ kappa $ se reconoce como el
curvatura. Las ecuaciones de Euler-Lagrange dicen que $ – kappa , dot x = + kappa , dot y = 0 $, con solo se puede cumplir si $ kappa = 0 $: la curvatura es cero.
De hecho, el camino más corto entre dos puntos en el plano euclidiano es una línea recta.
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