Esta es la solución más correcta que encomtrarás aportar, sin embargo estúdiala pausadamente y analiza si se puede adaptar a tu proyecto.
Aunque la respuesta aceptada por rschwieb es excelente, creo que existe una conexión entre la noción matemática de “movimiento rígido” y la noción física de “rigidez estructural” que aún no se ha mencionado.
Definamos un diagrama para hacer referencia a cualquier colección finita de segmentos de línea con puntos finales etiquetados en el plano. Suponga que tenemos dos tipos de datos sobre un diagrama dado: su relaciones de incidencia (es decir, saber qué puntos son los extremos de qué segmentos de línea) y su medidas lineales (es decir, saber la longitud de los segmentos). Hacemos la pregunta:
¿Un diagrama está completamente especificado por sus relaciones de incidencia y sus medidas lineales?
Otra forma (un poco menos formal) de expresarlo es: si sabes cuánto miden todos los segmentos de un diagrama, ¿puedes dibujar el diagrama?
Primero, notemos que a lo mejor podríamos decir que un diagrama está completamente especificado hasta un movimiento rígido. Es decir, incluso si pudiéramos reconstruir un diagrama a partir de sus relaciones de incidencia y medidas lineales, no sabríamos dónde colocarlo en el plano o cómo orientarlo, porque un movimiento rígido del plano conserva todas las propiedades de incidencia y métricas mientras posiblemente cambia posición y orientación.
Pero una observación más significativa es que Conocer las relaciones de incidencia y las medidas lineales de un diagrama, en general, no especifica completamente un diagrama.. Para ver esto, solo mire el ejemplo en el OP de una forma “no rígida”: un cuadrado que se deforma en un rombo. El diagrama original (el cuadrado) y el diagrama deformado (el rombo) tienen exactamente las mismas relaciones de incidencia y medidas lineales, pero los ángulos en ellos son diferentes.
Podemos tomar esto como una caracterización matemática de la noción física de “rigidez estructural”: si un diagrama está completamente determinado (hasta un movimiento rígido) por sus relaciones de incidencia y sus medidas lineales, podemos llamarlo un diagrama rígido.
Ahora considere un triángulo. Suponga que conocemos las tres longitudes de los lados de un triángulo dado $ Delta ABC $. ¿Es posible reconstruir todo lo demás sobre el triángulo?
La respuesta es sí. Esto se conoce como el Lado-lado-lado propiedad. En la geometría de la escuela secundaria, generalmente se formula como un criterio para demostrar que dos triángulos son congruentes:
Si $ Delta ABC $ y $ Delta PQR $ son dos triángulos con $ AB = PQ, BC = QR, $ y $ AC = PR $, entonces $ Delta ABC cong Delta PQR $.
La propiedad Side-Side-Side le dice que si los lados de un triángulo son indeformables, entonces sus ángulos están completamente “bloqueados”, es decir, todo el triángulo es rígido.
Tenga en cuenta que esto no es true para cualquier polígono que no sea un triángulo: No existe un criterio de congruencia “Lado-Lado-Lado-Lado” para cuadriláteros.
Ahora consideremos los ejemplos en el OP. El diagrama $ S_1 $, sin que las diagonales punteadas, es un cuadrilátero $ ADBC $. Tal cuadrilátero no es rígido, porque se puede dibujar otro cuadrilátero $ A’D’B’C ‘$ con todas las longitudes correspondientes exactamente iguales pero con ángulos interiores diferentes.
Sin embargo, si agrega incluso uno de los segmentos punteados (por ejemplo, $ overline DC $) en el diagrama, entonces el diagrama haría Sea rígido, porque los triángulos $ Delta ADC $ y $ Delta BDC $ son rígidos.
Exactamente las mismas observaciones se aplican a $ S_2 $.
Para $ S_3 $, la cuestión de si el diagrama es rígido o no depende de si la línea que parece unir $ A $ a $ C $ y la línea que parece unir $ B $ a $ D $ es en realidad un segmento, y si es así, si el punto que parece estar en la intersección de esos segmentos (llámelo $ P $) es explícitamente parte del diagrama o no, y si $ overline AP $, $ overline PC $, etc. son parte del diagrama. (Observe que todo esto está contenido en la especificación de “relaciones de incidencia” de un diagrama.) Si lo están, entonces el diagrama es rígido; de lo contrario, es solo un cuadrilátero no rígido.
La razón por la que le resulta difícil conciliar estas ideas es porque el diagrama se refiere a una noción física de rigidez, mientras que la página wiki que está leyendo se centra en una noción geométrica de rigidez. (Tampoco encuentro que el artículo que vinculó esté escrito de manera particularmente clara).
Geometría
En geometría, no hablamos de formas rígidas en realidad, hablamos de formas rígidas. transformaciones. Las formas en geometría son solo conjuntos de puntos, no objetos físicos con resistencia a doblarse y estirarse. Están a merced de las transformaciones que se les aplican.
Suponiendo que estamos trabajando en una geometría que tiene nociones de cómo medir ángulos y distancias:
Una transformación rígida conserva todas las distancias y medidas de ángulos (y dependiendo de su gusto, también la orientación)
La idea es que no importa con qué forma empecemos, cualquier forma que dibujes en el plano en absoluto tendrá el mismo aspecto después de aplicar una transformación rígida, excepto que su ubicación y situación pueden ser diferentes de lo que solía ser. (También podría ser su imagen reflejada, si ha permitido que las transformaciones cambien la orientación del plano).
Muchas de esas formas cambiarían si seleccionáramos una transformación no rígida, por ejemplo, la transformación dada por $ x mapsto x $ y $ y mapsto 2y $ en el plano cartesiano. Esto cambiaría un círculo en el origen en una elipse.
Si está interesado en la geometría que no se basa en la distancia, puede adoptar algunos axiomas geométricos que asuman nociones de congruencia de segmentos y ángulos. Las transformaciones rígidas del plano serían entonces aquellas que no perturben la congruencia de los segmentos ni la congruencia de los ángulos.
Física
Ahora bien, existe una noción de rigidez en la realidad que tiene más que ver con su resistencia a cambiar de forma. A esto se le llama rigidez estructural. En realidad, esto no es lo mismo que la rigidez de la forma en la geometría, aunque obviamente está relacionado.
En el diagrama que proporcionó, el punto parece ser que asumimos que los segmentos no cambian de longitud, pero que las uniones están en bisagras. Puede aplicar fuerzas físicas a ambos y ver cómo se comportan. Uno clasificaría el triángulo como una forma rígida porque ninguna de sus longitudes de borde o ángulos cambiaría debido a la forma intrínseca del objeto. El cuadrado, por otro lado, no está limitado geométricamente a tener ángulos de 90 grados cuando se le aplica presión, por lo que puede convertirse en un rombo con bastante rapidez.
Además, podría imaginarse fácilmente la construcción de un objeto con segmentos que cambian de longitud y bisagras rígidas, de modo que un cuadrado se pueda colocar en un rectángulo, pero no en un rombo. Tampoco creo que ese objeto se considere “rígido”.
Conclusión
Ojalá haya expresado un poco la diferencia entre estos dos estudios.
No quiero decir que la noción de física esté totalmente desvinculada de las matemáticas: seguro que la rigidez física se puede analizar con las matemáticas. Es solo que la página wiki sobre geometría no estaba donde querías estar si estás interesado en la rigidez estructural.
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