Solución:
Una singularidad es una condición en la que las geodésicas están incompletas. Por ejemplo, si te dejas caer en un agujero negro, tu línea de mundo termina en la singularidad. No es solo que estés destruido. Tú (y las partículas subatómicas de las que estás hecho) no tienes líneas de mundo futuras. Una definición cuidadosa de la incompletitud geodésica es un poco complicada, porque queremos hablar de geodésicas que no se pueden extender más allá de una cierta longitud, pero la longitud se mide por la métrica, y la métrica se vuelve loca en una singularidad de modo que la longitud se vuelve indefinida. . La forma de evitar esto es usar un parámetro afín, que se puede definir sin una métrica. La incompletitud geodésica significa que existe una geodésica que no puede extenderse más allá de un determinado parámetro afín. (Esto también cubre las geodésicas similares a la luz, que tienen una longitud métrica cero).
Hay dos tipos de singularidades, singularidades de curvatura y singularidades cónicas.
La singularidad de un agujero negro es un ejemplo de singularidad de curvatura; a medida que se acerca a la singularidad, la curvatura del espacio-tiempo diverge hasta el infinito, medida por una curvatura invariante como el escalar de Ricci. Otro ejemplo de singularidad de curvatura es la singularidad del Big Bang.
Una singularidad cónica es como la de la punta de un cono. Las geodésicas están incompletas allí básicamente porque no hay forma de decir en qué dirección debe ir la geodésica una vez que llega a la punta. En GR 2 + 1-dimensional, la curvatura se desvanece de manera idéntica y el único tipo de gravedad que existe son las singularidades cónicas. No creo que se espere que las singularidades cónicas sean importantes en nuestro universo, por ejemplo, no creo que puedan formarse por colapso gravitacional.
Las singularidades reales que implican una incompletitud geodésica deben distinguirse de las singularidades coordinadas, que en realidad no son singularidades en absoluto. En el espacio-tiempo de Schwarzschild, como se describe en las coordenadas originales de Schwarzschild, algunos componentes de la métrica explotan en el horizonte de eventos, pero esto no es una singularidad real. Este sistema de coordenadas se puede reemplazar por uno diferente en el que la métrica se comporte bien.
La razón por la que los escalares de curvatura son útiles como pruebas para una singularidad de curvatura real es que, dado que son escalares, no pueden divergir en un sistema de coordenadas pero permanecer finitos en otro. Sin embargo, no son pruebas definitivas, por varias razones: (1) un escalar de curvatura puede divergir en un punto que está a una distancia afín infinita, por lo que no causa incompletitud geodésica; (2) los escalares de curvatura no detectan singularidades cónicas; (3) hay infinitos escalares de curvatura que se pueden construir, y algunos podrían explotar mientras que otros no. Un buen tratamiento de las singularidades se da en el libro en línea de Winitzki, sección 4.1.1.
La definición de una singularidad se cubre en WP y en todos los libros de texto estándar de GR. Supongo que el problema real con el que estaba luchando era la definición de tipo temporal versus espacial.
En GR, una singularidad no es un punto en un espacio-tiempo; es como un agujero en la topología del colector. Por ejemplo, el Big Bang no ocurrió en un momento determinado. Debido a que una singularidad no es un punto o un conjunto de puntos, no puede definir su carácter temporal o espacial de la misma manera que lo haría con, digamos, una curva. Una singularidad temporal es aquella que está en el cono de luz futuro de algún punto A pero en el cono de luz pasado de algún otro punto B, de modo que una línea de mundo temporal puede conectar A con B. Las singularidades del agujero negro y del big bang no son temporales , son similares a espacios, y así es como se muestran en un diagrama de Penrose. (Tenga en cuenta que en la métrica de Schwarzschild, las coordenadas ryt de Schwarzschild intercambian sus caracteres temporales y espaciales dentro del horizonte de eventos).
Hay cierta variedad en las definiciones, pero una singularidad temporal es esencialmente lo que la gente quiere decir con una singularidad desnuda. Es una singularidad que puedes tener sentado en tu escritorio, donde puedes mirarlo y pincharlo con un palo. Para más detalles, ver Penrose 1973. Además de la definición local que di, también hay una noción global, Rudnicki, 2006, que es esencialmente que no está escondida detrás de un horizonte de eventos (de ahí el término “desnudo”). Lo que se está formalizando es la noción de una singularidad que puede formarse por colapso gravitacional a partir de condiciones iniciales no singulares (a diferencia de una singularidad del Big Bang), y de la cual las señales pueden escapar al infinito (a diferencia de una singularidad de agujero negro).
Penrose, radiación gravitacional y colapso gravitacional; Actas del Simposio, Varsovia, 1973. Dordrecht, D. Reidel Publishing Co. págs. 82-91, gratis en línea en http://adsabs.harvard.edu/full/1974IAUS…64…82P
Rudnicki, singularidades de curvatura fuerte generalizada y censura cósmica débil en el espacio-tiempo cosmológico, http://arxiv.org/abs/gr-qc/0606007
Winitzki, Temas de la relatividad general, https://sites.google.com/site/winitzki/index/topics-in-general-relativity
Las singularidades temporales y espaciales son conjuntos de puntos en el espacio-tiempo donde diverge alguna curvatura invariante, como un polinomio escalar construido a partir del tensor de Riemann (pero todas las invariantes son finitas en todos los puntos en la vecindad de la singularidad que no pertenecen a la singularidad) de modo que los puntos cercanos en el conjunto estén separados en forma de tiempo o espaciales entre sí, respectivamente.
Por lo tanto, uno puede entender qué es una singularidad temporal o espacial si comprende las palabras “temporal”, “espacial” y “singularidad” por separado. No hay nada realmente nuevo en las frases; el todo es prácticamente la suma de sus partes. Una singularidad es una variedad – subvariedad del espacio-tiempo – y la semejanza del espacio y la semejanza del tiempo se determina al igual que para cualquier curva o superficie, etc. en el espacio-tiempo, a partir del signo de $ ds ^ 2 $.
Cuando la dimensión del conjunto singular es mayor que uno, la semejanza del tiempo real o la semejanza del espacio es más complicada y se debe hablar de la firma completa: el número de direcciones positivas, negativas y nulas en el espacio. Todavía es cierto que cuando al menos algunas direcciones a lo largo del set son temporales, la gente probablemente lo llamará una singularidad temporal, aunque sea mixta.