Solución:
Si desea saber más sobre el cálculo de un número de Mach, es útil leer el artículo de Wikipedia sobre el número de Mach. Como se explica aquí, el número de Mach para el flujo compresible subsónico se puede obtener de la ecuación de Bernoulli (Wikipedia cita esta fuente). El resultado que citó se deriva de $ gamma = frac {7} {5}, , p_t = q_e + p $.
$ M $ es no la velocidad del sonido. Es el número de Mach, la relación entre la velocidad de la aeronave y la velocidad del sonido. La ecuación se deriva de la ecuación de Bernoulli junto con una elección adecuada de $ gamma = C_P / C_V $ para el aire.
Los factores no son obvios, estoy de acuerdo.
Por ejemplo, para un índice de polítropo, $ gamma $, de 7/5, el exponente de 2/7 corresponde a un término de la forma $ left ( tfrac { gamma – 1} { gamma} right) $ , que es nuestra primera pista. La segunda pista es que el sistema de tubo de Pitot se puede aplicar a un sistema Bernoulli. La tercera cosa a tener en cuenta es que para velocidades subsónicas, que es donde realmente funciona un tubo de pitot, uno puede salirse con la suya asumiendo un flujo incompresible (sé que parece extraño ya que las cosas obviamente se comprimen un poco, pero los efectos pueden considerarse secundarios para la mayoría de las intenciones y propósitos).
Para un gas ideal politrópico, sabemos que $ P propto rho ^ { gamma} $. Así, podemos decir que: $$ P = kappa P_ {s} rho ^ { gamma} tag {1} $$ donde $ P_ {s} $ es la presión estática (también se puede considerar la presión al infinito). Podemos reescribir esta ecuación en términos de densidad para encontrar: $$ rho = kappa ^ {- frac {1} { gamma}} left ( frac {P} {P_ {s}} right) ^ { frac {1} { gamma}} etiqueta {2} $$
La forma diferencial de la ecuación de Bernoulli se puede dar como: $$ u du + frac {1} { rho} frac {d P} {d rho} d rho = 0 tag {3} $ $ y sabemos que la velocidad del sonido viene dada por: $$ begin {align} C_ {s} ^ {2} & = frac { partial P} { partial rho} tag {4a} \ & = gamma kappa P_ {s} rho ^ { gamma – 1} etiqueta {4b} \ & = frac { gamma P} { rho} etiqueta {4c} end {align} $$
Si reemplazamos $ rho $ en la Ecuación 4b con la forma que se muestra en la Ecuación 2, se puede mostrar que el segundo término en la Ecuación 3 se puede reescribir como: $$ begin {align} frac {1} { rho} frac {d P} {d rho} d rho & = frac { gamma kappa P_ {s}} { rho} rho ^ { gamma – 1} d rho tag {5a} \ & = frac { gamma kappa P_ {s}} { rho} kappa ^ {- frac { gamma – 1} { gamma}} left ( frac {P} {P_ {s}} right) ^ { frac { gamma – 1} { gamma}} d rho tag {5b} \ & = frac { gamma P_ {s}} { rho} kappa ^ { frac {1} { gamma}} left ( frac {P} {P_ {s}} right) ^ { frac { gamma – 1 } { gamma}} d rho etiqueta {5c} end {align} $$
Si diferenciamos la Ecuación 2, encontramos: $$ d rho = left ( frac { rho} { gamma P_ {s}} right) left ( frac {P} {P_ {s} } right) ^ {- 1} dP tag {6} $$ para que la ecuación 5c se pueda reescribir como: $$ frac { gamma P_ {s}} { rho} kappa ^ { frac {1} { gamma}} left ( frac {P} {P_ {s}} right) ^ { frac { gamma – 1} { gamma}} d rho = kappa ^ { frac {1} { gamma}} left ( frac {P} {P_ {s}} right) ^ {- frac {1} { gamma}} dP tag {7} $$
Definimos $ u du rightarrow C_ {s} ^ {2} M dM $, por lo que reescribimos la Ecuación 3 como: $$ C_ {s} ^ {2} M dM + kappa ^ { frac {1} { gamma}} left ( frac {P} {P_ {s}} right) ^ {- frac {1} { gamma}} dP = 0 tag {8} $$
También definimos $ alpha = tfrac {P} {P_ {s}} $ para que $ dP rightarrow P_ {s} d alpha $. Si integramos la Ecuación 8 con los límites que van desde $ P_ {s} $ a $ P $, el cambio de variables hace que el segundo término vaya a: $$ kappa ^ { frac {1} { gamma}} P_ {s} int _ { alpha} ^ {1} d alpha alpha ^ {- frac {1} { gamma}} = left[ frac{ gamma kappa^{frac{ 1 }{ gamma }} P_{s} }{ gamma – 1 } alpha^{frac{ gamma – 1 }{ gamma }} right]_ { alpha} ^ {1} etiqueta {9} $$
Por lo tanto, la ecuación 8 se puede reescribir como: $$ 0 = frac {1} {2} C_ {s} ^ {2} M ^ {2} – frac { gamma kappa ^ { frac {1 } { gamma}} P_ {s}} { gamma – 1} left[ alpha^{frac{ gamma – 1 }{ gamma }} – 1right] tag {10} $$ que después de un poco de álgebra se reduce a: $$ M ^ {2} = frac {2} { gamma – 1} left[ alpha^{frac{ gamma – 1 }{ gamma }} – 1right] tag {11} $$
Como se indicó anteriormente, para $ gamma $ = 7/5, esto da como resultado la forma que le preocupa.