Posterior a investigar con especialistas en la materia, programadores de deferentes áreas y profesores dimos con la respuesta al problema y la compartimos en esta publicación.
Solución:
Creo que su pregunta es más sobre sistemas axiomáticos en general. Quizás esta analogía ayude: considere, por ejemplo, los axiomas que gobiernan la teoría de conjuntos (llamados “ZFC”). El término “conjunto” también está indefinido, aunque tenemos algo de intuición al respecto. A partir de ahí, pasamos a establecer varias propiedades a las que los conjuntos deben obedecer.
De manera más general, al definir un sistema axiomático (independientemente de si es geometría euclidiana o teoría de conjuntos ZFC), tiene “nociones primitivas” (puntos o líneas o conjuntos) y luego establece propiedades que relacionan las diversas nociones primitivas entre sí.
Sin embargo, el punto principal es que, si bien usamos nuestra intuición para ayudarnos a encontrar pruebas y derivar propiedades, en un nivel formal, estas son solo manipulaciones de símbolos que no están vinculados a nuestra intuición. Eso nos permite, si quisiéramos hacerlo, reemplazar los nombres de todas las nociones primitivas con otros nombres.
Hilbert es famoso por hacer tal observación, donde ilustra esta idea llevada al extremo: “Uno debe poder decir en todo momento, en lugar de puntos, líneas rectas y planos, mesas, sillas y jarras de cerveza”. (fuente: Cita de procedencia de Hilbert en mesa, silla, jarra de cerveza, donde también se puede encontrar un poco de historia).
Tenga en cuenta que dice en Wikipedia que
[…] en la geometría euclidiana, un punto es una noción primitiva sobre la que se construye la geometría. Ser una noción primitiva significa que un punto no se puede definir en términos de objetos previamente definidos. Es decir, un punto está definido solo por algunas propiedades, llamadas axiomas, que debe satisfacer. En particular, los puntos geométricos no tienen longitud, área, volumen ni ninguna otra dimensión. attribute. Una interpretación común es que el concepto de punto está destinado a capturar la noción de una ubicación única en el espacio euclidiano. […]
Entonces, la razón por la que un punto estaría indefinido es porque es una base sobre la cual se construye la geometría euclidiana. Si tuviéramos que definir un punto como una “ubicación que no tiene tamaño, es decir, sin ancho, sin largo y sin profundidad”, entonces tendríamos que definir los términos “ancho”, “largo” y “profundidad”, y estos no pueden definirse sin utilizar puntos de alguna manera, lo que hace que la definición sea circular.
En cuanto a lo que cuenta como definición, es posible que desee ver aquí.
En cuanto a su definición de “punto” en geometría, ¿qué littleO dicho en un comentario es suficiente:
Solo ha reemplazado un término indefinido con otros términos indefinidos.
Para ser más explícito, si define “punto” en términos de “ubicación”, simplemente le pediría que definir “ubicación”.
Ahora bien, esto no responde a sus otras preguntas.
Si no es una definición, ¿cómo podemos saber si alguna declaración es definición o no?
De manera informal decimos que una definición válida es una forma de describir algo que es preciso y solo involucra conceptos previamente definidos. Esto es suficientemente bueno para las matemáticas informales, pero de hecho existe una definición completamente precisa de “definiciones válidas” en la lógica de primer orden, que se denomina de forma diversa expansión definitoria o poder de abreviatura total. Básicamente, esta regla permite nombrar y luego usar cualquier símbolo constante o símbolo de predicado o símbolo de función que pueda ser representado de manera única por alguna fórmula de primer orden. Por ejemplo, si trabaja dentro de la aritmética de Peano de primer orden más el poder de abreviatura completo, puede definir:
$ par (n) overset def equiv existe k (k + k = n) $.
Y a partir de entonces puede razonar sobre objetos que satisfacen el predicado ahora definido $ even $, y puede probar teoremas que lo involucran como:
$ para todos n (par (n veces n) a par (n)) $.
Baste decir que un dispositivo técnico de este tipo es necesario en la práctica para que no tengamos una duplicación inútil de contenido. Por supuesto, el teorema anterior podría haberse escrito en una oración aritmética simple sin usar $ even $, pero claramente sería mucho más largo y menos informativo.
¿Cuáles son las características de una definición en matemáticas?
Lo anterior se refiere a los detalles técnicos de cómo definir formalmente una “definición válida” en la lógica de primer orden y, por lo tanto, la mayoría de las matemáticas (que se basan en una teoría de conjuntos de primer orden llamada ZFC). De todos modos, el concepto de potencia abreviada se extiende fácilmente a otras lógicas. Pero hay una segunda cuestión de los diferentes tipos de definiciones en matemáticas.
El primer tipo implica definir conceptos dentro de un marco existente. El ejemplo de $ even $ es una instancia de esto. El segundo tipo implica definir un marco completo (como un solo concepto). Por ejemplo, podemos definir un estructura ser un modelo para la aritmética de Peano si obedece a todas las axiomas de PA. Tenga en cuenta que tal definición no no definir qué es un único número natural, pero cuál es la colección de números naturales junto con las operaciones aritméticas como un todo.
De manera similar, en cualquier axiomatización habitual de la geometría euclidiana uno no definir qué son los puntos, sino que define que un estructura es una geometría euclidiana si consta de líneas y puntos (y generalmente números) que juntos satisfacen ciertos axiomas.
Si te sientes impulsado, eres capaz de dejar un escrito acerca de qué le añadirías a este post.