Agradecemos tu ayuda para extender nuestros escritos sobre las ciencias informáticas.
Solución:
Mmm. Esperaba que alguien que realmente conociera la geometría algebraica escribiera una respuesta a esta pregunta.
Primero, algo de intuición. Resulta que las curvas algebraicas proyectivas complejas no singulares son lo mismo que las superficies de Riemann compactas (conectadas), que topológicamente son superficies orientadas compactas. Por la clasificación de superficies compactas, tales superficies se clasifican de forma única por un solo número, su género $ g $, que cuenta cuántos agujeros hay en la superficie. Más precisamente, por cada $ g $ hay una superficie orientada $ S_g $ que es la suma conectada de $ g $ tori (es decir, es una “dona con $ g $ agujeros”), y cada superficie orientable compacta (conectada) es homeomorfo a $ S_g $ por un $ g $ único.
El género $ g $ tiene varias definiciones equivalentes, y algunas de ellas se generalizan a la geometría algebraica donde no tenemos acceso directo a la información topológica. Desafortunadamente, ninguno de ellos es particularmente fácil de describir. Se puede encontrar una excelente introducción a este tema en Curvas algebraicas de Fulton.
Entonces, la idea es clara para curvas no singulares. Sin embargo, el género resulta ser un invariante biracional de curvas (en particular, invariante bajo la eliminación de un número finito de puntos), por lo que es posible extender la definición del género a curvas singulares declarando que el género de una curva singular es el género de una curva no singular biracional a él.
Ejemplo. Considere la curva singular $ y ^ 2 = x ^ 3 $ de grado $ 3 $ en $ mathbb P ^ 2 ( mathbb C) $ (equivalentemente $ mathbb A ^ 2 ( mathbb C PS Tiene un punto singular en el origen del pedido $ 2 $. Ahora, una curva no singular de grado $ 3 $ en $ mathbb P ^ 2 ( mathbb C) $ tiene el género $ 1 $ (ver curva elíptica), pero esta curva no: de hecho, usando el mapa biracional $ t mapsto (t ^ 2, t ^ 3) $ vemos que esta curva es biracional a $ mathbb P ^ 1 ( mathbb C) $, por lo tanto tiene género $ 0 $.
Por lo anterior, vemos que, en términos generales, las singularidades disminuyen el género “esperado” de una curva (donde “esperado” significa el número $ frac (d-1) (d-2) 2 $ ese obtiene de la fórmula de grado de género). Exactamente cuánto disminuyen las singularidades en el género esperado me parece una cuestión algo complicada y no soy yo quien debe discutirlo en detalle. Sin embargo, para los puntos singulares “ordinarios” (no estoy seguro de lo que esto significa exactamente) de orden $ r $, parece que el género disminuye en $ frac r (r-1) 2 $. Entonces, el género en su primer ejemplo es $$ frac 9 cdot 8 2 – 3 frac 5 cdot 4 2 – frac 4 cdot 3 2 = 36 – 30 – 6 = 0 $$
y el género en su segundo ejemplo es $$ frac 4 cdot 3 2 – frac 3 cdot 2 2 – 3 frac 2 cdot 1 2 = 6 – 3 – 3 = 0. $$
Tampoco soy un geómetro algebraico, pero traté de averiguar cómo calcular el género de una curva algebraica para satisfacer mi propia curiosidad. Aunque todavía no tengo éxito, me gustaría compartir lo que aprendí.
Primero, aquellos que todavía se están acostumbrando al espacio proyectivo y las coordenadas homogéneas deben leer las dos primeras secciones del apéndice en Puntos racionales en curvas elípticas por Silverman. Proporciona motivación e intuición para estos conceptos.
A continuación intento explicar cómo calcular el género a mano. Alternativamente, se puede usar un sistema de álgebra por computadora como Maple para calcular el género.
Esta respuesta de Vogler en The Math Forum proporcionada por Hans en un comentario es realmente útil. Explica casi todo de una manera muy accesible. Esa respuesta se basa en Curvas algebraicas de Walker (ver secciones 7.1 a 7.5). Otra referencia es Curvas algebraicas: una introducción a la geometría algebraica de Fulton, que está disponible gratuitamente en línea (consulte la sección 7.5). Estas secciones que señalo en ambos libros tratan de la parte más difícil de calcular el género, que es cómo manejar singularidades no ordinarias.
Con solo singularidades ordinarias, las cosas son mucho más fáciles. Dejar $ f (x, y) = 0 $ definir una curva algebraica no singular $ C $ de grado $ d $ con tan solo $ n $ puntos singulares ordinarios $ p_i $ (por $ 1 le i le n $), donde $ p_i $ tiene multiplicidad $ r_i $. Entonces $$ operatorname genus (C) = frac (d-1) (d-2) 2 – sum_ i = 1 ^ n frac r_i (r_i – 1) 2 . $$
Un punto (en coordenadas deshomogeneizadas) es singular si $$ f (x, y) = part_x f (x, y) = part_y f (x, y) = 0. $$ Dejar $ (a, b) $ ser un punto singular. Para determinar el orden de $ (a, b) $, calcular $ f (a + xt, b + yt) $. Entonces el orden de $ (a, b) $ es el valor mínimo para $ r $ tal que $ g (x, y) t ^ r $ no es idénticamente cero. Ahora escribe $ g (x, y) $ como $ y ^ rh (x / y) $. Entonces $ (a, b) $ es una singularidad ordinaria si $ gcd (h, h ‘) = 1 $ y no es ordinario de otro modo.
(Tenga en cuenta que esta explicación solo menciona las variables $ x $ y $ y $, pero hay otra variable $ z $ que se establece implícitamente en 1. No olvides considerar los puntos “en el infinito”, que es cuando $ z = 0 $. Lea el apéndice de Silverman si no está claro).
Como dijo Mariano en un comentario, una singularidad ordinaria es un punto con tangentes distintas (y no es ordinario si alguna tangente aparece más de una vez). Para familiarizarse con esto, consulte las figuras de ejemplo de Fulton en la página 32 (o los ejemplos de Walker en la página 57).
No estoy completamente seguro de qué hacer si la curva es reducible.
Para calcular el género de una curva algebraica irreductible con singularidades no ordinarias, la transformamos en otra curva algebraica con el mismo género y sin singularidades no ordinarias mediante la denominada transformación biracional. A diferencia de las explicaciones anteriores, esta parte se explica mejor en coordenadas homogéneas.
Esta transformación se obtiene realizando repetidamente dos pasos. En el primer paso, transformamos $ C $ a una nueva curva $ C ‘$ satisfaciendo varias propiedades. Vogler establece estas propiedades (con mi paráfrasis) de la siguiente manera. Dejar $ p = (a, b, c) $ ser un punto singular no ordinario de multiplicidad $ r $. Entonces
- $ p = (1,0,0) $ en coordenadas proyectivas;
- Los puntos $ (0,1,0) $ y $ (0,0,1) $ no están en $ C ‘$;
- La línea $ x = 0 $ no se cruza $ C ‘$ en cualquier punto singular;
- Las líneas $ y = 0 $ y $ z = 0 $ no se crucen $ C ‘$ en cualquier punto singular que no sea $ p = (1,0,0) $ de multiplicidad $ r $.
Fulton dice que una curva que satisface estas condiciones está en excelente posicion (vea la página 90).
La primera condición es fácil de satisfacer, ya que la curva $ C_1 $ definido por $$ f ‘(x, y, z) = f (ax, y + b, z + c) = 0 $$ tiene esta propiedad. Sin embargo, no estoy seguro de cómo obtener sistemáticamente más transformaciones para satisfacer las otras propiedades mientras se mantienen las anteriores (incluso si estas últimas tres condiciones deberían cumplirse normalmente, como señala Vogler). Vogler da un ejemplo de tales transformaciones, mientras que Fulton y Walker dejan este paso como un ejercicio para el lector. Si alguien pudiera modificar mi respuesta explicando este paso, sería fantástico.
Ahora dado que nuestra curva $ C ‘$ definido por $ f ‘(x, y, z) = 0 $ satisface las propiedades anteriores, lo transformamos en una nueva curva $ C ” $ definido por $ f ” (x, y, z) = 0 $, donde $$ f ‘(yz, xz, yz) = x ^ r f’ ‘(x, y, z). $$
Luego repetimos todo este proceso comenzando con $ C ” $ hasta que obtengamos una curva sin singularidades no ordinarias, momento en el que podemos calcular el género usando la fórmula anterior.
valoraciones y comentarios
Recuerda algo, que puedes permitirte aclarar tu experiencia si diste con el hallazgo.