Luego de de esta extensa compilación de información pudimos solucionar este atascamiento que pueden tener algunos de nuestros lectores. Te brindamos la solución y nuestro objetivo es que te sea de mucha apoyo.
Solución:
Los puntos fijos de una función $F$ son simplemente las soluciones de $F(x)=x$ o las raíces de $F(x)-x$. La función $f(x)=4x(1-x)$, por ejemplo, son $x=0$ y $x=3/4$ ya que $$4x(1-x)-x = xleft(4 (1-x)-1right) = x(3-4x).$$ Geométricamente, estos son los puntos de intersección entre las gráficas de $y=f(x)$ y $y=x$, como se muestra aquí :
La forma más sencilla de demostrar la existencia de puntos fijos de $f^3$ que no son puntos fijos de $f$ es simplemente trazar las gráficas de $y=x$, $y=f(x)$ y $y=f(f(f( x)))$ juntos.
Tenga en cuenta que, además de los dos puntos fijos de $f$, hemos recogido $6$ nuevos puntos de intersección entre $y=f^3(x)$ y $y=x$. Estas son en realidad dos órbitas separadas del período 3. Como Michael señala correctamente en su respuesta, estas pueden caracterizarse algebraicamente como las soluciones de $f^3(x)=x$ o $f^3(x)-x=0 PS Debe comprender que lidiar con este tipo de ecuaciones suele ser tedioso. Usando Mathematica para factorizar la ecuación, encontré que $$f^3(x)-x = -x (4 x-3) left(64 x^3-112 x^2+56 x-7right) left(64 x^3-96 x^2+36 x-3right)$$ Por lo tanto, esas dos órbitas son las raíces de los polinomios cúbicos irreducibles que se ven en la factorización.
Finalmente, como $2$ y $3$ son primos relativos, los únicos puntos fijos comunes de $f^2$ y $f^3$ son los puntos fijos de $f$ mismo.
Un comentario más: si Ud. De Verdad quiere un cálculo manual de los puntos fijos de $f^3$, hay una manera elegante de obtenerlos usando una conjugación dinámica entre $f$ y la función de elevar al cuadrado $z^2$, pero supongo que eso es un poco más involucrado de lo que estás buscando.
Tienes una forma funcional para $f$, así que escribe (resuelve) $f^2$ y $f^3$. Colocar
$f^3(x) = x$
y resuelve para $x$. Si también resuelve $f(x) = x$ y $f^2(x) = x$ encontrará qué puntos fijos de $f^3$ pertenecen a $f$ y $f^2$ también, y puedes descartar estos.
Puedes añadir valor a nuestra información cooperando tu veteranía en las explicaciones.