Te traemos la contestación a este asunto, o por lo menos eso creemos. Si sigues con inquietudes puedes dejar un comentario, que con gusto te responderemos
Solución:
Estas son solo algunas ideas de hurgar en el problema. Continuaré usando Mathematica por ahora ya que es más conveniente (y a juzgar por su código anterior, debería poder administrar esto en MATLAB, si no, intentaré convertirlo). Sin embargo, si tiene Mathematica y puede probarlos, sería genial.
Punto fijo: Un punto fijo de una función f(x) es un punto que es la solución de f(x)=x; en otras palabras, el punto donde la función se asigna a sí misma.
Resolviendo tu función, obtienes x=0 y x=3/4 como puntos fijos.
In:= Solve[Min[3/2 x, 3 - 3 x] - x == 0, x]
Out= x -> 0, x -> 3/4
De hecho, una trayectoria que comienza en estos puntos permanecerá en estos puntos para siempre. También puede observar interactivamente los efectos a medida que cambia el punto de partida y el número de iteraciones usando
Manipulate[
CobwebDiagram[xstart, steps], xstart, 0, 1, 1/1000, steps, 1, 200,
1]
Naturaleza de los puntos fijos
Veamos la naturaleza de los puntos fijos. Si es un atractor, los puntos en un vecindario del tamaño épsilon arbitrariamente pequeño del punto fijo permanecen en un vecindario de tamaño similar (no es necesario que tengan exactamente el mismo tamaño), y si es un repelente, se pone repelido y diverge a un punto completamente arbitrario fuera del vecindario (mis definiciones son bastante vagas aquí, pero supongo que servirá).
Así que probando lo siguiente
eps = 10^-16;
CobwebDiagram[0.75 + eps, 200]
obtenemos
Figura 1)
que ciertamente no parece estar convergiendo al punto fijo. De hecho, si nos fijamos en la evolución de x[t], verás que diverge
Clear[f]
f[1] = 0.75 + eps;
f[t_] := f[t] =
Piecewise[3/2 f[t - 1], 0 <= f[t - 1] <= 2/3, 3 (1 - f[t - 1])];
ListLinePlot[Table[f[n], n, 1, 200]]
Figura 2)
El resultado es similar si lo perturba en la otra dirección, es decir, f[1]=0.75-eps.
Para el otro punto fijo (esta vez, se puede perturbar solo en una dirección ya que la función está definida para x>=0), verá que el comportamiento es el mismo y, por lo tanto, los dos puntos fijos parecen ser divergentes.
Fig. 3)
Figura (4)
Ahora considere el punto de partida x[1]=18/25.
CobwebDiagram[18/25, 200]
Figura (5)
¡¡Guau !! Que parece un ciclo límite!
Ciclo límite: Un ciclo límite es una trayectoria cerrada del sistema desde la cual no hay posibilidad de llegar a un punto que no esté en la trayectoria, incluso cuando t->Infinity. Entonces, cuando miras el x[t], ves algo como
Figura (6)
que son solo 3 puntos repetidos (la compresión de la imagen crea un patrón de Moiré, pero en realidad, si lo trazas en un pequeño número de pasos, verás 3 puntos. Tengo demasiado sueño para volver atrás y volver a trazarlo). Los tres puntos son 12/25, 18/25 y 21/25. Comenzar con cualquiera de estos tres puntos lo llevará al mismo ciclo límite.
Ahora bien, si las trayectorias suficientemente cercanas al ciclo límite convergen hacia él, es un ciclo límite atrayente / estable, de lo contrario es un ciclo límite repelente / inestable. Tan perturbador por eps en cualquier dirección como antes, vemos que la trayectoria diverge (solo estoy mostrando la dirección + ve abajo).
Figura (7)
Figura (8)
Curiosamente, comenzando con x[1]=19/25 lo asigna a 18/25 en el siguiente paso, que luego continúa indefinidamente en la trayectoria del ciclo límite. Es fácil ver por qué sucede esto, ya que la línea de 19/25 sobre y=x es solo la continuación de la línea desde 12/25 a y=x (es decir, desde la primera parte de la función). Por la misma lógica, debería haber puntos correspondientes a 18/25 y 21/25, pero no los voy a encontrar ahora. A la luz de esto, no estoy exactamente seguro aquí de si el ciclo límite aquí es realmente atrayente o repelente (según la definición estricta de ciclo límite, solo debe haber otra trayectoria que gire en espiral hacia él, y nosotros ' ¡He encontrado tres! Quizás alguien que sepa más sobre esto pueda opinar sobre esto).
Algunos pensamientos mas
El punto de partida 1/2 también es interesante, porque te lleva a 3/4 en el siguiente paso, que es un punto fijo y, por lo tanto, permanece allí para siempre. Del mismo modo, el punto 2/3 te lleva al otro punto fijo en 0.
CobwebDiagram[1/2, 200]
Figura (9)
CobwebDiagram[2/3, 200]
Figura (10)
El comportamiento de las oscilaciones también le dice algo sobre el sistema. Si miras la trayectoria en Higos. (2,4), el sistema tarda más en convertirse en caos para el punto fijo 0 caso, que el otro. Además, en ambas gráficas, cuando las trayectorias se acercan a 0, tarda más en recuperarse que en 3/4, donde simplemente revolotea rápidamente. Estos se parecen a oscilaciones de relajación (piense en un condensador que se carga lentamente y se descarga instantáneamente por cortocircuito).
Eso es todo en lo que puedo pensar por ahora. Por último, creo que la naturaleza exacta de los puntos fijos debe analizarse en el marco general de la estabilidad de Lyapunov, pero no voy a embarcarme en esto. Espero que esta respuesta le haya dado algunas opciones para analizar.
Para que las preguntas sean más fáciles de responder para las personas versadas en Mathematica, aquí está la versión de Mathematica en el código anterior:
CobwebDiagram[xstart_, steps_] := Module[path, x, t,
path = RecurrenceTable[x[t] ==
Piecewise[3/2 x[t - 1], 0 <= x[t - 1] <= 2/3,
3 (1 - x[t - 1])], x[1] == xstart, x, t, 1, steps];
Plot[Piecewise[3/2 x, 0 <= x < 2/3, 3 (1 - x)], x, 0, 1,
Epilog -> Red,
Line[Riffle[Partition[path, 2, 1], #, # & /@ Rest[path]]]]]
De alguna manera, pensé que esta era una pregunta de tarea cuando la vi por primera vez y la respuesta del OP a la respuesta de Yoda lo verifica. No es necesariamente incorrecto hacer preguntas sobre la tarea, pero ciertamente debe estar claramente marcado como tal. Hay algunas políticas de tarea razonables en este enlace en meta: https://meta.stackexchange.com/questions/18242/what-is-the-policy-here-on-homework
Teniendo en cuenta la política "no hay soluciones para la tarea; los empujones son bienvenidos", hay un comentario que agregaría a la discusión de soluciones que he brindado hasta ahora. Examine las gráficas de las iteraciones de f. Con esto me refiero a las gráficas de f (f (x)), f (f (f (x))), etc. Por ejemplo, la tercera iteración de f (x) = x ^ 2 es f (f (f ( x))) = x ^ 8. Los puntos de intersección entre la gráfica de la enésima iteración de f y la línea y = x incluyen las órbitas periódicas de orden n (y un poco más). Al examinar estas imágenes, debería quedar claro que hay muchas órbitas repulsivas.
La forma correcta de clasificar completamente la dinámica es usar la dinámica simbólica, que su clase podría haber cubierto o no.