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Solución:
Quiere probar que $limlimits_xto 1(x+4) = 5$ usando $epsilon$-$delta$.
Sea $epsilongt 0$. Necesitamos demostrar que existe un $deltagt 0$ tal que
Si $0lt |x-1|lt delta$ entonces $|f(x)-5|lt epsilon$.
Ahora, queremos pensar un poco: ¿cómo afectará el tamaño de $|x-1|$ al tamaño de $|f(x)-5|$? Como $f(x)=x+4$, notamos que $|f(x)-5| = |(x+4)-5| = |x-1|$; es decir, el tamaño de $|f(x)-5|$ es igual al tamaño de $|x-1|$. Entonces, para asegurarse de que $|f(x)-5|lt epsilon$, es suficiente requerir que $|x-1|ltepsilon$.
Por lo tanto, podemos seleccionar $delta=epsilon$. Entonces $deltagt 0$, y si $0lt |x-1|ltdelta$, seguirá $|f(x)-5|ltepsilon$.
Así, para todo $epsilongt 0$ existe un $deltagt 0$ (a saber, $delta=epsilon$) con la propiedad de que si $0lt |x-1|lt delta$ , entonces $|f(x)-5|lt epsilon$. Esto prueba que $limlimits_xto 1f(x) = 5$, como se desea. $Caja$
Eso es lo que tienes, solo que con muchas palabras en el medio…
Me gustaría compartir un ejemplo práctico de una prueba de límite épsilon – delta que se encuentra en: http://www.karlscalculus.org/x2_1.html y se reproduce aquí para su comodidad. Karl Hahn explica cada paso de la prueba para que incluso un principiante en pruebas pueda entenderlo completamente.
Ejemplo resuelto
Demuestre el siguiente límite:
$$lim_x → 2frac2 (x^2 – 4)(x – 2) = 8 qquadqquadtexteq. 2.1x-1$$
utilizando el método delta-épsilon. Claramente, no podemos evaluar esta función en $x = 2$ porque eso daría como resultado un denominador cero.
Recordamos del álgebra que $x^2 – 4$ es la diferencia de cuadrados y, por lo tanto, se puede factorizar fácilmente.
$$x^2 – 4 = (x + 2) (x – 2)$$ Démosle a la función que estamos tratando de encontrar el límite de un nombre. Llamémoslo $f(x)$. Entonces tenemos:
$$f(x) = frac2 (x^2 – 4)(x – 2) = frac2 (x + 2) (x – 2)(x – 2) qquadqquadtexteq. 2.1x-2$$
Claramente en todos los valores de $x$ excepto $x = 2$ obtenemos una cancelación, y esto es lo mismo que: $$f(x) = 2 (x + 2) qquadqquadtexteq. 2.1x-3$$ Así que lo anterior es válido para cualquier valor de $x$ excepto $2$. Eso significa que podemos evaluar $f(x)$ usando esta expresión y obtener la respuesta correcta siempre que x nunca sea igual a 2. Entonces, si demostramos que: $$lim_x → 2 ;;2 (x + 2) = 8 qquadqquadtext ec. 2.1x-4$$
entonces hemos resuelto el problema. ¿Entiendes por qué? Recuerda que todas las expresiones que hemos hecho para $f(x)$ son funciones idénticas para cualquier valor de $x$ además de $2$. Tomar el límite de $f(x)$ cuando $x$ se acerca a $2$ significa nunca tener que evaluar $f(x)$ en $x = 2$. Entonces, en todos los lugares en los que tenemos que evaluarlo, todas las formas de $f(x)$ son idénticas, incluyendo $f(x) = 2 (x + 2)$.
Ahora llegamos a la parte delta-épsilon de la prueba. Tenemos que organizar un esquema mediante el cual pueda decirme qué tan cerca tiene que estar $f(x)$ de $8$ (es decir, me da un $ε$) y, en base a eso, pueda decirle qué tan cerca tiene que estar $x$ de ser a $ 2 $ para hacerlo true (es decir, puedo darte un $δ$ que lo hace true).
Bueno, establezcamos una ecuación que muestre lo que sucede cuando usamos una x que está dentro de δ de 2.
$$f(2 ± δ) = 2 ( (2 ± δ) + 2) qquadqquadtext eq. 2.1x-5$$ Ahora, recordando que $δ$ siempre es mayor que cero (y lo que es más importante, nunca es cero), podemos ver que en lo anterior, nunca tenemos que evaluar $f(x)$ en el valor prohibido. Entonces simplemente multiplicamos la expresión anterior: $$f(2 ± δ) = 8 ± 2 δ qquadqquadtext eq. 2.1x-6$$ El requisito es que debemos poder elegir $δ$ para que el valor anterior no esté más lejos del límite (que en este caso es $8$) que los $ε$ que podría dar mí, no importa qué tan pequeño sea el $ε$ que me des. Entonces, al darme un $ε$, me estás diciendo que haga que: $$ |f(2 ± δ) – 8| ≤ ε qquadqquadtextec. 2.1x-7$$ Pero podemos obtener una expresión para lo que hay dentro de los corchetes de valor absoluto a partir de cosas que ya hemos hecho. Solo toma la ecuación 2.1x-6 y resta $8$ de ambos lados. Si lo sustituyes por $2 ± δ$, obtienes: $$|± 2 δ| ≤ ε qquadqquadtextec. 2.1x-8$$ y dado que los corchetes de valor absoluto hacen que el signo ± sea discutible, simplemente tenemos: $$ 2 δ ≤ ε qquadqquadtext eq. 2.1x-9$$ o
$$δ ≤ fracε2 qquadqquadtexteq. 2.1x-10$$ Entonces, si me golpeas con cualquier $ε$, todo lo que tengo que decirte es que pruebes con un $δ$ que sea menor o igual a la mitad de tu $ε$. En otras palabras, hemos establecido un esquema que convierte $ε$ en $δ$, y el esquema siempre te da un $δ$ que hace que la función esté dentro de $ε$ de $8$. Y eso significa que hemos terminado con la prueba.