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Solución:
Para mostrar que $ f $ es 1-1, puede mostrar que $$ f (x) = f (y) Longrightarrow x = y. $$ Entonces, por ejemplo, para $ f (x) = x-3 sobre x + 2 $:
Suponga que $ x-3 over x + 2 = y-3 over y + 2 $. Entonces: begin align * & x-3 over x + 2 = y-3 over y + 2 \ Longrightarrow & (y + 2) (x-3) = (y-3) (x + 2) \ iff & yx + 2x-3y-6 = yx-3x + 2y-6 \ iff & 2x-3y = -3x + 2y \ iff & 2x + 3x = 2y + 3y \ iff & 5x = 5y \ iff & x = y end align * Entonces $ f (x) = x-3 over x + 2 $ es 1-1.
Dejaré mostrando que $ f (x) = x-3 over 3 $ es 1-1 para ti.
Alternativamente, para mostrar que $ f $ es 1-1, puede mostrar que $$ x ne y Longrightarrow f (x) ne f (y). $$
O, para mostrar que un $ f $ diferenciable es 1-1, puede mostrar que su derivado $ f ‘$ es siempre positivo o siempre negativo.
Descubriría que una función $ g $ no es 1-1 si, al usar el primer método anterior, encuentra que la ecuación se satisface para algunos $ x ne y $. Por ejemplo, tome $ g (x) = 1-x ^ 2 $. Entonces
$$ eqalign & g (x) = g (y) cr iff & 1-x ^ 2 = 1-y ^ 2 cr iff & -x ^ 2 = -y ^ 2 cr iff & x ^ 2 = y ^ 2 cr $$ La ecuación anterior tiene $ x = 1 $, $ y = -1 $ como solución. Entonces, hay $ x ne y $ con $ g (x) = g (y) $; por tanto, $ g (x) = 1-x ^ 2 $ no es 1-1.
Por supuesto, para mostrar que $ g $ no es 1-1, solo necesita encontrar dos valores distintos del valor de entrada $ x $ que den a $ g $ el mismo valor de salida.
Aunque señala con razón que el método gráfico no es confiable; Todavía es instructivo considerar los métodos utilizados y por qué funcionan:
Gráficamente, puede utilizar cualquiera de los siguientes:
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Utilice la “Prueba de línea horizontal”:
$ f $ es 1-1 si y solo si cada línea horizontal interseca la gráfica de $ f $ en como máximo un punto. Tenga en cuenta que esta es solo la interpretación gráfica de “si $ x ne y $ entonces $ f (x) ne f (y) $”; dado que los puntos de intersección de una línea horizontal con la gráfica de $ f $ dan valores de $ x $ para los cuales $ f (x) $ tiene el mismo valor (es decir, la intersección de $ y $ de la línea).
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Utilice el hecho de que un $ f $ continuo es 1-1 si y solo si $ f $ es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Esto, por supuesto, es equivalente a que la derivada sea siempre positiva o siempre negativa en el caso en que $ f $ sea diferenciable. (Tenga en cuenta que este método se aplica solo a la función verde a continuación).
Una función uno a uno es una función inyectiva. Una función $ f: A rightarrow B $ es una inyección si $ x = y $ siempre que $ f (x) = f (y) $.
Ambas funciones $ f (x) = dfrac x-3 x + 2 $ y $ f (x) = dfrac x-3 3 $ son inyectivas.
Vamos a demostrarlo por el primero.
$$ begin eqnarray * f (x) & = & f (y) Flecha izquierda frac x-3 x + 2 = frac y-3 y + 2 \ & Flecha derecha & left (y + 2 right) left (x-3 right) = left (y-3 right) left (x + 2 right) qquad ( text para x neq- 2, y neq -2) \ & Rightarrow & xy-3y + 2x-6 = xy + 2y-3x-6 \ & Rightarrow & -3y + 2x = 2y-3x Lefttrightarrow 2x + 3x = 2y + 3y \ & Rightarrow & 5x = 5y Rightarrow x = y. end eqnarray * $$
Entonces llegamos a la conclusión de que $ f (x) = f (y) Rightarrow x = y $, como se indica en la definición.
En cuanto al segundo, tenemos $$ begin eqnarray * f (x) = f (y) Leftrightarrow frac x-3 3 = frac y-3 3 Rightarrow & x -3 = y-3 Flecha derecha x = y. end eqnarray * $$
Un ejemplo de función no inyectiva es $ f (x) = x ^ 2 $ porque $$ begin eqnarray * f (x) = f (y) Leftrightarrow x ^ 2 = y ^ 2 Rightarrow x = y quad text o quad x = -y. end eqnarray * $$
Para su segunda función modificada $ f (x) = frac x-3 x ^ 3 $, podría notar que $$ f (x) – f (y) = frac (xy) ((3 -y) x ^ 2 + (3y-y ^ 2) x + 3 y ^ 2) x ^ 3 y ^ 3 $$ Como un polinomio cuadrático en $ x $, el factor $ (3-y) x ^ 2 + (3y-y ^ 2) x + 3 y ^ 2 $ tiene discriminante $ y ^ 2 (9 + y) (y-3) $. Entonces, cuando $ y> 3 $ o $ y <-9 $, esto produce dos $ x $ reales distintos, tales que $ f (x) = f (y) $.
Ten en cuenta dar visibilidad a esta división si lograste el éxito.