Solución:
El segundo no es ni convexo ni cóncavo; es fácil de determinar con solo mirarlo. A lo largo de la línea $ y = x $, es convexa como función 1D; a lo largo de la línea $ y = -x $ es cóncava. No es ni cuasi-convexo ni cuasi-cóncavo: para mostrar que no es cuasi-cóncavo, considere los puntos $ x = (0, 1) $, $ y = (-1, 0) $, entonces $ f (x) = f (y) = 0 $. Parametrizar la función a lo largo de ese segmento de línea por $ lambda $; entonces $ f ( lambda) = lambda ( lambda – 1) <0 = min {f (x), f (y) } $. Puede rotar para obtener una no cuasi-convexidad.
El primero es convexo pero no cóncavo y no cuasi cóncavo. Examine el valor de $ f $ en los puntos $ x = 1/3, x = 10, x = 1 $ para ver que no es cuasi cóncavo. Es convexo nuevamente por inspección o mostrando que su segunda derivada es estrictamente positiva.
Para el primero, verifique y vea que todas las funciones individuales son convexas y que la suma de las funciones convexas es convexa, por lo que la primera es convexa.
También para el segundo, puede verificar a lo largo de las líneas como se ilustra.