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Solución:
El teorema de diagonalización, aquí por ejemplo, establece que puede tomar $$ A = left[beginmatrix -1 & 0 & 1\3 & 0 & -3\1 & 0 & -1endmatrixright]$$ y convertirlo en una matriz diagonal $$ V = left[beginmatrix 0 & 0 & 0\0 & 0 & 0\0 & 0 & -2endmatrixright] $$ donde los elementos diagonales de $V$ son los valores propios $(0,0,-2)$ de $A$ usando $$V = P^-1 AP$$ donde $P = (v_1 quad v_2 quad v_3)$ es invertible. Esto solo sucede si $A$ tiene $n$ vectores propios linealmente independientes $v_1, v_2, v_3.$ En este caso, aunque $lambda_1 = lambda_2 = 0$, tiene un $$ P = left no singular[beginmatrix 1 & 0 & -1\0 & 1 & 3\1 & 0 & 1endmatrixright]
$$ Para decidirlo, primero encuentre todos los vectores propios, forme $P$ y verifique si $P$ no es singular (equivalentemente, $v_1, v_2, v_3$ son linealmente independientes). En la primera matriz, sin embargo, $$P = left[beginmatrix 1/4 & 1 & 0\1/2 & 1 & 0\1 & 1 & 0endmatrixright]
$$ que es singular.
El teorema inverso no se aplica. Si una matriz (nxn) NO tiene n valores propios distintos, esto no significa que no pueda ser diagonizable. En realidad, no podemos saber eso solo a partir del número de valores propios distintos. Es solo una condición suficiente (pero no necesaria) . Mira el primer ejemplo: http://en.wikipedia.org/wiki/Diagonalizable_matrix
Para verificar si $A=left[beginmatrix 0 & 1 & 0\0 & 0 & 1\2 & -5 & 4endmatrixright]$ es diagonalizable (Suponiendo que las entradas se toman en el campo $mathbb R$):
Supongamos con respecto a alguna base $beta$ de $mathbb R^3_mathbb R,~[T]_beta}=A$ para algún operador lineal $T$ de $mathbb R^3_mathbb R.$ Entonces $chi_T:(x-1)^2(x-2).$ En consecuencia, el valores característicos de $T$ son $1,2$ (Ya que $1,2inmathbb R$).
Primero comprobemos si $T$ es diagonalizable:
$E_1(T)=vinmathbb R^3:Tv=v=Ker~(T-I_mathbb R^3)$
$E_2(T)=vinmathbb R^3:Tv=2v=Ker~(T-2I_mathbb R^3)$
Ahora
$Clasificación~[T-1I_mathbb R^3]_beta=Rizquierda[beginmatrix -1 & 1 & 0\0 & -1 & 1\2 & -5 & 3endmatrixright]leq 2implica Rango~[T-I_mathbb R^3]_beta=2$ y
$Clasificación~[T-2I_mathbb R^3]_beta=Rizquierda[beginmatrix -2 & 1 & 0\0 & -2 & 1\2 & -5 & 2endmatrixright]= 2$ (operando en filas)$implica Rango~[T-I_mathbb R^3]_beta=2.$
Recuerdo: Para cualesquiera dos espacios vectoriales de dimensión finita $V$ & $W$ sobre el mismo campo, $~Tin L(V,W)$$implica Rank~T=Rank$ de cualquier matriz de $T.$
En consecuencia, $dim E_1(T)=Nulidad~(T-I_mathbb R^3)=3-Rango~(T-I_mathbb R^3)=3-Rango~[T-I_mathbb R^3]_beta$$=1.$ Del mismo modo $dim E_2(T)=3-2=1.$
Ahora $dim E_1(T)+dim E_2(T)nedim mathbb R^3.$ En consecuencia, $T$ no es diagonalizable.
$($ Alternativamente $chi_T:(x-1)^2(x-2)neq (x-1)^dim E_1(T)(x-2)^dim E_2(T).$ En consecuencia $ T$ no es diagonalizable.$)$
Por lo tanto, $A$ no es diagonalizable.
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