Tenemos el hallazgo a esta duda, o por lo menos eso creemos. Si sigues con preguntas dínoslo, que sin pensarlo
Solución:
Dejar $ bigcirc E $, $ bigcirc F $, $ bigcirc G $, $ bigcirc H $ tienen radios respectivos $ e $, $ f $, $ g $, $ h $y definir $ u: = | BF | $ y $ v: = | AH | $.
Entonces cada tangencia da una relación pitagórica:
$$ begin align e ^ 2 + u ^ 2 & = (e + f) ^ 2 tag 1 \ e ^ 2 + v ^ 2 & = (e + h) ^ 2 tag 2 \ f ^ 2 + (2e-g) ^ 2 & = (f + g) ^ 2 tag 3 \ g ^ 2 + (u + fv) ^ 2 & = (g + h) ^ 2 tag 4 \ (uv) ^ 2 + (2e) ^ 2 & = (f + h) ^ 2 tag 5 end align $$
Es posible recorrer el sistema eliminando variables una por una, pero el procesamiento de símbolos parece ser un desastre que es mejor dejarlo en una computadora. Si vamos a recurrir a eso de todos modos, es mejor que dejemos que el CAS aborde todo el sistema de una sola vez. Mathematica genera fácilmente dos soluciones: la extraña $ (f, g, h, u, v) = (0, e, -2e, 0,0) $ y también
$$ (f, g, h, u, v) = left ( frac98 e, frac 16 25 e, frac 25 28 e, frac 15 8 e, frac 45 28 e right) tag 6 $$
de donde encontramos
$$ | AB |: | BC | = 2e: u + f = 2: 3 etiqueta $ estrella $ $$
El hecho de que todos los valores en $ (6) $ son múltiplos racionales de $ e $ sugiere que hay podría ser una forma inteligente de llegar a la solución, pero no la veo.
Tomemos un sistema de coordenadas con $ A $ el origen, $ AB $ el $ x $-eje, $ AD $ el $ y $ eje. Podemos asumir WLOG que la abscisa de $ B $ es $ 2 $.
Dejemos usar notaciones: $ r $ y $ s $ para los radios de círculos centrados en $ H $ y $ F $ resp. y
$$ D = (0, d), H = (0, h), G = (g, d) $$
Como consecuencia $ F = (2, ds) $.
Los contactos de los 5 círculos dan las 5 condiciones:
$$ begin cases (1) & h ^ 2 + 1 & = & (1 + r) ^ 2 \ (2) & 1 + (ds) ^ 2 & = & (1 + s) ^ 2 \ (3) & g ^ 2 + (dh) ^ 2 & = & (g + r) ^ 2 \ (4) & 4 + (dsh) ^ 2 & = & (r + s) ^ 2 \ (5) & (2-g) ^ 2 + s ^ 2 & = & (g + s) ^ 2 end casos $$
(Un gran agradecimiento a Jan-Magnus Økland, que ha detectado los errores en mi sistema inicial. Gracias también a Blue, que me ha alertado sobre la existencia de una solución, mientras que al principio pensé que no había ninguna).
Tenemos un sistema de 5 ecuaciones no lineales en 5 incógnitas reales $ d, g, h, r, s $ con restricción de positividad (de hecho existen otras restricciones si queremos cumplir con las posiciones dadas en la figura).
De hecho, usando (1) y (2), se puede obtener:
$$ r = sqrt 1 + h ^ 2 -1 text y s = dfrac d ^ 2 2 (d + 1). $$
Reemplazando estas expresiones en las ecuaciones restantes (3), (4), (5), obtenemos un sistema de 3 ecuaciones en 3 incógnitas.
Podríamos estudiar los puntos triples de intersecciones de las superficies implícitas con estas ecuaciones.
Lo he hecho de manera diferente al enviar el sistema (1) a un sistema de álgebra computarizado que ha dado dos $ 5 $-tuplas de soluciones. Solo uno de ellos era físicamente significativo …
$$ d = 3, g = 16/25 approx 0.64, h = 45/28 approx 1.6071, r = 25/28 approx 0.8929, s = 9/8 approx 1.1250 $ PS
Por tanto: AB / BC = 2/3.
Edición 1: Programa de Matlab con variables simbólicas:
syms d g h r s [D,G,H,R,S]=solve(... h^2+1==(1+r)^2,... 1+(d-s)^2==(1+s)^2,... g^2+(d-h)^2==(g+r)^2,... 4+(d-s-h)^2==(r+s)^2,... (2-g)^2+s^2==(g+s)^2,... d,g,h,r,s)
Edición 2: El uso de 3 simetrías en la figura inicial (situada en la parte inferior izquierda) da lugar a una nueva figura que se puede utilizar (suprimiendo los semicírculos externos) como base para una disposición periódica no clásica de discos mutuamente tangentes de 3 diferentes tamaños en el avión (consulte, por ejemplo, “Círculos desiguales” en https://en.wikipedia.org/wiki/Circle_packing
Solo para agregar el número de procesamiento en M2. Jean Marie tenía dos errores de imprenta en sus ecuaciones (3) y (5). El punto de solución $ (d, g, h, r, s) = (3, frac 16 25, frac 45 28, frac 25 28, frac98) $ se encuentra en las siguientes líneas:
R=QQ[d,g,h,r,s]
I=ideal(h^2+1-(r+1)^2,1+(d-s)^2-(1+s)^2,g^2+(d-h)^2-(r+g)^2,4+(d-s-h)^2-(r+s)^2,(2-g)^2+s^2-(s+g)^2)
primaryDecomposition I -- ideal(8*s-9,28*r-25,28*h-45,25*g-16,d-3), ideal(r+3*s+2,g*s+2*g-2,d*s-h*s-3*s^2-4*g-2*s+4,h^2-9*s^2-6*s,d*h-h*s-3*s^2,d^2-2*h*s-6*s^2-8*g-6*s+8)
Entonces, para responder a la pregunta, la razón es $ 2: 3 $