Encontramos la solución a esta obstáculo, al menos eso creemos. Si presentas preguntas compártelo en un comentario, para nosotros será un placer ayudarte
Solución:
Sean $vecx_1$ y $vecx_2$ los dos puntos. Sea $r = |vecx_1 – vecx_2|$ la distancia entre ellos. Por geometría elemental, si dibujas dos círculos de radio $r$ usando estos dos puntos como centro, el área de su intersección está dada por $(frac2pi3 – frac{sqrt3 2)r^2$. Observe que la selección de dos puntos es independiente, tenemos: $$Eleft[ vecx_1 cdot vecx_2 right] = Eizquierda[vecx_1right] cdot Eizquierda[vecx_2right] = vec0 cdot vec0 = 0$$ Esto implica $$Eleft[|vecx_1 – vecx_2|^2right] = Eizquierda[|vecx_1|^2 + |vecx_2|^2right] = 2fracint_0^R r^3 drint_0^R rdr = R^2$$
Como resultado, el área esperada de la intersección es $(frac2pi3 – fracsqrt32)R^2$.
Actualizar para los curiosos
Sea $mathscrC$ el conjunto de eventos tal que la intersección contiene el origen, entonces: $$beginalign operatornameProbleft[,mathscrC right] &= frac2pi + 3sqrt36pi\ Eizquierda[,|vecx_1 – vecx_2|^2 : mathscrCright] &= frac20pi + 21sqrt36(2pi + 3sqrt3) endalign$$ y el área esperada de intersección condicional a contener el centro es dado por: $$frac(4pi – 3sqrt3)(20pi + 21sqrt3)36(2pi + 3sqrt3)$$
Evaluar $Eleft[ varphi(vecx_1,vecx_2) ) : mathscrC right]$ para cualquier función $varphi( vecx_1, vecx_2 )$ que sea simétrica e invariante rotacional respecto a su argumento, necesita calcular una integral de:
$$int_fracpi3^pi fracdthetapi left[2int_0^R frac2uduR^2 left( int_alpha(theta)u^u frac2vdvR^2 phi( vecx_1, vecx_2 ) right) right] $$
donde $u ge v$ son $|vecx_1|$ y $|vecx_2|$ ordenados en orden descendente. $theta$ es el ángulo entre $vecx_1$ y $vecx_2$. El misterioso $alpha(theta)$ es $max(2cos(theta),0)$ para $theta in [fracpi3,pi]PS
La integral es un gran lío y necesito un sistema de álgebra computarizado para sacarla. No proporcionaré más detalles sobre esta parte que no es relevante para la respuesta principal.