Esta cuestión se puede tratar de diversas maneras, por lo tanto te dejamos la resolución más completa en nuestra opinión.
Solución:
Excitaciones de cuasipartículas locales y excitaciones de cuasipartículas topológicas
Para comprender y clasificar las cuasipartículas anónicas en estados ordenados topológicamente, como los estados FQH, es importante comprender las nociones de excitaciones de cuasipartículas locales y excitaciones de cuasipartículas topológicas. Primero definamos la noción de excitaciones “ similares a partículas ”.
Consideremos un sistema con simetría de traslación. El estado fundamental tiene una densidad de energía uniforme. Si tenemos un estado con excitación, podemos observar la distribución de energía del estado en el espacio. Si para algún área local la densidad de energía es mayor que el estado fundamental, mientras que para el área de descanso la densidad de energía es la misma que el estado fundamental, se puede decir que hay una excitación “ similar a una partícula ”, o una cuasipartícula, en este zona. Las cuasipartículas definidas así se pueden dividir en dos tipos. El primer tipo puede ser creado o aniquilado por operadores locales, como un spin flip. Por tanto, no son robustos ante perturbaciones. El segundo tipo son estados robustos. La densidad de energía local más alta no puede ser creada o eliminada por alguna operadores locales en esa zona. Nos referiremos al primer tipo de cuasipartículas como cuasipartículas locales y al segundo tipo de cuasipartículas como cuasipartículas topológicas.
Como ejemplo simple, considere el modelo 1D Ising con condición de límite abierto. Hay dos estados fundamentales, gira todo hacia arriba o hacia abajo. Simplemente voltear un giro del estado fundamental conduce a la segundo estado excitado y crea una cuasipartícula local. Por otro lado, el primero El estado excitado parece un muro de dominio. Por ejemplo, los giros de la izquierda son todos hacia arriba mientras que los de la derecha todos hacia abajo, y la pared del dominio entre el dominio hacia arriba y el dominio hacia abajo es una cuasipartícula topológica. Al voltear los giros junto a la pared del dominio, la cuasipartícula se mueve, pero no se puede eliminar. Dichas cuasipartículas están protegidas por la condición de contorno. Siempre que los dos giros de borde sean opuestos, habrá al menos una pared de dominio o una cuasipartícula topológica en el volumen. Además, un giro giratorio puede verse como dos paredes de dominio.
A partir de las nociones de cuasipartículas locales y cuasipartículas topológicas, también podemos introducir una noción tipos de cuasipartículas topológicas (es decir cargas topológicas), o simplemente, tipos de cuasipartículas. Decimos que las cuasipartículas locales son del tipo trivial, mientras que las cuasipartículas topológicas son de tipos no triviales. Además, dos cuasipartículas topológicas son del mismo tipo si y solo si difieren en las cuasipartículas locales. En otras palabras, podemos convertir una cuasipartícula topológica en otra aplicando algunos operadores locales. El número total de tipos de cuasipartículas topológicas (incluido el tipo trivial) también es una propiedad topológica. Resulta que esta propiedad topológica está directamente relacionada con otra propiedad topológica para estados topológicos 2 + 1D: El número de tipos de cuasipartículas topológicas igual a la degeneración del estado fundamental en el toro.. Ésta es una de las muchas relaciones asombrosas y profundas en orden topológico.
Consulte también ¿Por qué la estadística fraccionaria y los no abelianos son comunes para las cargas fraccionarias ?, Una comprensión física de la fraccionalización, y ¿Cuál es la diferencia entre la fraccionalización de cargas en 1D y 2D?
La distinción entre cargas “ordinarias” y topológicas proviene del hecho de que la conservación de las cargas ordinarias es una consecuencia del teorema de Noether, es decir, cuando el sistema en consideración posee una simetría, entonces de acuerdo con el teorema de Noether, la carga correspondiente es conservado.
Las cargas topológicas, por otro lado, no corresponden a una simetría del modelo de sistema dado, y se derivan de un procedimiento que se puede llamar cuantificación topológica. Por favor, vea el trabajo fundamental de Orlando Alvarez que explica algunos aspectos de este tema. Estas cargas topológicas corresponden a invariantes topológicos de variedades relacionadas con el problema físico.
Uno de los ejemplos más básicos es la condición de cuantificación de Dirac, que implica la cuantificación de la carga magnética en unidades del recíproco de la carga eléctrica. Esta condición está relacionada con la cuantificación de la primera clase Chern del paquete de líneas cuánticas. También es posible obtener la condición de cuantificación a partir del requisito de valor único de la integral de trayectoria. La existencia de los invariantes topológicos está relacionada con una topología no trivial de la variedad en consideración, por ejemplo, grupos de homotopía que no desaparecen, consulte la siguiente revisión de VP Nair.
Por supuesto, las cargas topológicas también pueden ser no abelianas; un ejemplo básico de este fenómeno es el monopolo ‘t Hooft-Polyakov, donde estas soluciones tienen cargas no abelianas correspondientes a los vectores de peso del dual del grupo gauge ininterrumpido. Consulte la siguiente revisión de Goddard y Olive.
Debe enfatizarse que la distinción entre cargas ordinarias y cargas topológicas depende del modelo, y las cargas “ordinarias” en algún modelo de un sistema emergen como cargas topológicas en otro modelo del mismo sistema. Por ejemplo, la carga eléctrica de una partícula se puede obtener como carga topológica en una descripción de Kaluza-Klein. Consulte la sección 7.6 aquí en Marsden y Ratiu.
Las cargas topológicas corresponden a veces a parámetros enteros del modelo, por ejemplo, Witten pudo obtener la cuantificación del número de colores a partir de la cuantificación topológica (semiclásica) del coeficiente del término de Wess-Zumino del modelo de Skyrme.
Un ejemplo simple, donde se pueden obtener números cuánticos como cargas topológicas es el oscilador armónico isotrópico. Si consideramos un oscilador armónico isotrópico en dos dimensiones, entonces sus hipersuperficies de energía son esferas de $ 3 $, que pueden verse como paquetes circulares sobre una esfera de $ 2 $ por la fibración de Hopf. Las esferas de $ 2 $ son los espacios de fase reducidos de las (hipersuperficies de energía) del oscilador bidimensional. En la teoría cuántica, las áreas de estas esferas deben cuantificarse para admitir un paquete de líneas cuánticas. Esta condición de cuantificación es equivalente a la cuantificación de la energía del oscilador armónico.
En realidad, estas representaciones alternativas de sistemas físicos, tales que las cargas ordinarias emergen como cargas topológicas, ofrecen posibles explicaciones para la cuantificación de estas cargas en la naturaleza (el modelo de Kaluza-Klein para la carga eléctrica, por ejemplo).
Una dirección actual de la investigación a lo largo de estas líneas es encontrar “explicaciones” topológicas a las cargas fraccionarias. Uno de los ejemplos conocidos de es la expansión de la hipercarga fraccional de los quarks (en unidades de $ frac 1 3 $), que se puede explicar a partir del requisito de cancelación de anomalía (que es topológica) del modelo estándar, donde la contribución de los quarks debe multiplicarse por $ 3 $ (debido a los tres colores). Además de las anomalías, se sabe que la existencia de campos de diferentes representaciones irreductibles en un mismo modelo y configuraciones anudadas por separado pueden dar lugar a cargas fraccionarias.
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