Solución:
La respuesta de Semoi es buena. Pero ya que dices
Preferiría una explicación intuitiva en lugar de matemática
para expresarlo de manera más simple y sin fórmulas, la distribución de Maxwell es la distribución chi con tres grados de libertad (las componentes de la velocidad en el espacio euclidiano). La distribución chi es la distribución de la raíz cuadrada positiva de la suma de cuadrados de un conjunto de variables aleatorias independientes, cada una de las cuales sigue una distribución normal estándar. La distribución normal es el resultado del teorema del límite central, que básicamente dice que cuando se suman muchas variables aleatorias idénticas, el resultado tiende a una distribución normal.
Entonces, Maxwell asumió que la distribución subyacente de velocidades debería ser aleatoria, y debería resultar de un gran número de colisiones y, en consecuencia, debería estar distribuida normalmente en cada dirección. El gráfico de distribución de Maxwell se deriva de eso, utilizando cálculos estándar.
Nota sobre la segunda parte: no entiendo por qué preguntas por qué algunas colisiones son más favorecidas. Todas las colisiones solo tienen el efecto de aleatorizar la distribución de velocidades tanto en magnitud como en dirección. No pueden cambiar la energía total, lo que determina la media de la distribución normal en cada dirección.
El argumento del espacio de fase presentado por Shaswata es correcto. Desde una perspectiva termodinámica, esto es simplemente el resultado de la relación de gas ideal tridimensional.
$$ P_ {v} = frac {n_ {v}} {N_ {total}} = frac {1} {Z} exp left ({- frac {E_ {v}} {k_B T}} derecha) $$
dónde $ E_ {v} = frac {m} {2} v ^ 2 $ es la energía, $ n_ {v} $ es el número de partículas con velocidad $ v = | vec v | $, $ N_ {total} = sum_v n_ {v} $ es el número total de partículas, y
$ Z_ = sum_v exp left ({- frac {E_ {v}} {k_B T}} right) $
es la función de partición. Encontrará las derivadas adecuadas en muchos libros de termodinámica. Sin embargo, para mí este no es un argumento intuitivo o conceptual. Por lo tanto, así es como me gustaría obtener la distribución de Maxwell-Boltzmann.
- Cada componente del vector velocidad, $ {v_x, v_y, v_z } $, se distribuye normalmente: Esto se sigue del hecho de que obtenemos una distribución normal (= gaussiana), si tenemos “muchos” procesos aleatorios independientes que contribuyen “igualmente” a la variable observable. Para justificarse, consulte el Teorema de poisson y cómo el poissoniano se acercó a la distribución normal. O echa un vistazo a los llamados Teorema del límite central.
- El cuadrado de la velocidad, $ v ^ 2 = sum_ {i = x, y, z} v_i ^ 2 $, se distribuye como $ chi ^ 2_3 $ (omitiendo la constante de normalización): Esto simplemente es la definición de la $ chi ^ 2 $ distribución. La mayoría de las veces la definición dice: Si $ Z_i sim N (0, 1) $ luego $ Y = sum_ {i = 1} ^ k Z_i ^ 2 sim chi ^ 2_ {k} $. Tenga en cuenta que la tilde “$ sim $“debe leerse como” se distribuye como $ ldots $“y que la función de densidad de probabilidad está dada por $ f_Y propto sqrt {Y} exp left (-Y / 2 right) $, por $ k = 3 $.
- Sin embargo, somos no interesado en la distribución de
$ Y = vec v ^ 2 / sigma_v ^ 2 $, pero nos gustaría conocer la distribución de $ v = | vec v | = sigma_v sqrt {Y} $. Por tanto, tenemos que transformar el $ chi_3 ^ 2 $ distribución. Sin embargo, esto es sencillo. Usando la ley de transformación (para variables aleatorias continuas)
begin {align} f_v ; dv & = f_y cdot left | frac {dY} {dv} right | ; dv \ & = f_y cdot frac {2 v} { sigma_v ^ 2} ; dv propto v ^ 2 exp left (- frac {v ^ 2} {2 sigma_v ^ 2} right) ; dv end {align}
dónde $ f_v $ es la llamada función de densidad de probabilidad para la variable aleatoria $ v $, obtenemos la distribución de Maxwell Boltzmann.
En conclusión, la distribución de Maxwell Boltzmann de $ | vec {v} | $ es una consecuencia directa del hecho de que cada componente de velocidad, p. ej. $ v_x $, se distribuye normalmente.
Todas las colisiones son igualmente probables. La distribución de Maxwell se puede derivar de las probabilidades de Boltzmann, es decir, la probabilidad de que una molécula tenga energía. $ E $ es $ e ^ {- beta E} $. Una vez que pueda mostrar esto, no es tan difícil derivar la relación de maxwell ya que para cualquier velocidad $ v $ el número de estados es proporcional a $ e ^ {- beta frac {1} {2} mv ^ 2} $. También es proporcional a $ 4 pi v ^ 2 $ ya que en el espacio 3D $ v_x, v_y, v_z $ puede tomar cualquier valor dado que $ v_x ^ 2 + v_y ^ 2 + v_z ^ 2 = v ^ 2 $ que es básicamente proporcional al número de puntos en la superficie de una esfera de radio $ v $.
Entonces, la verdadera pregunta es cómo las partículas logran a través de constantes colisiones moleculares la distribución de Boltzmann. ¿Por qué la probabilidad de que una molécula tenga energía? $ frac {1} {2} mv ^ 2 $ es $ e ^ {- beta frac {1} {2} mv ^ 2} $.
Digamos en equilibrio el número de partículas que tienen velocidad $ v_i $ es $ n_i $. Estamos restringidos a un sistema donde el $ suma n_i = N $ y la energía total $ suma n_i frac {1} {2} mv_i ^ 2 = E $. El estado que tiene la máxima multiplicidad es,
$$ mathrm {arg , max} _ {n_1, n_2, dots n_k} frac {N!} {n_1! n_2! dots n_k!} qquad sum n_i = N, sum n_i frac { 1} {2} mv_i ^ 2 = E $$
Sabemos que para la máxima multiplicidad sin la restricción de energía es cuando todos los $ n_i $ son iguales, es decir $ n_i = N / k quad forall i $.
Por lo tanto, tiene sentido que cuando tenemos una energía muy grande ($ v_j> v $) para uno de los estados el correspondiente $ n_j $ será pequeño. De lo contrario, el otro $ n_i $ será demasiado pequeño debido a la limitación de energía. Y cuando tenemos uno de los $ n_i $ para ser demasiado grande y los demás son demasiado pequeños, tenemos una pequeña multiplicidad.
Del mismo modo, una energía baja corresponderá a un número elevado de moléculas en ese estado.
Por lo tanto, cuando dejas que ocurran todo tipo de colisiones, el estado que más probablemente termine siendo aquel en el que la mayoría de las partículas tienen baja energía. Esto se puede ver si se considera también la colisión de moléculas. Digamos que las dos moléculas tienen velocidades finales $ v1, v_2 $ y velocidades iniciales como $ u_1, u2 $.
De la conservación de la energía,
$$ v_1 ^ 2 + v_2 ^ 2 = u_1 ^ 2 + u_2 ^ 2 = V ^ 2 $$
Básicamente, el espacio de la solución es el cuarto positivo de un círculo de radio $ V $. Ahora no es difícil ver eso por $ v_2> V / 2 $ el número de casos es proporcional a $ 1/3 $ (subtiende un ángulo de $ pi / 6 $). Por otro lado para $ v_2 tenemos 2 veces más casos (subtiende un ángulo de $ pi / 3 $). En otras palabras $ v_1 ^ 2 $ y $ v_2 ^ 2 $ se contrarrestan entre sí. Lo que sucede como resultado es que $ v_1, v_2 $ tiene más posibilidades de reducir que de aumentar.