Investigamos por diferentes espacios para así traerte la respuesta para tu duda, si continúas con alguna duda déjanos tu inquietud y te contestamos con gusto, porque estamos para servirte.
Solución:
La suposición de que todas las capas son cilíndricas es una buena primera aproximación.
La suposición de que las capas forman una espiral logarítmica no es una buena suposición en absoluto, porque supone que el grosor del papel en cualquier punto es proporcional a su distancia desde el centro. Esto me parece bastante absurdo.
Una suposición alternativa es que las capas forman una espiral de Arquímedes. Esto es un poco más realista, ya que dice que el papel tiene un grosor uniforme de principio a fin. Pero esta suposición no es mucho más realista que la suposición de que todas las capas son cilíndricas; de hecho, de alguna manera es menos realista.
Así es como una hoja de espesor $ h $ realmente se envuelve alrededor de un cilindro. Primero, pegamos un lado de la hoja (cerca del final de la hoja) a la superficie del cilindro. Luego comenzamos a girar el cilindro. A medida que el cilindro gira, tira de la hoja extendida sobre sí mismo. Cerca del final de la primera rotación completa del cilindro, la envoltura se ve así:
Observe que la hoja se encuentra directamente sobre la superficie del cilindro, es decir, esta parte de la hoja envuelta es cilíndrica.
En algún ángulo de rotación, el extremo pegado de la hoja golpea la parte de la hoja que se está envolviendo. El punto donde la hoja es tangente al cilindro en ese momento es el último punto de contacto con el cilindro; la hoja va directamente desde ese punto hasta el punto de contacto con el extremo pegado, y luego procede a envolver en forma cilíndrica alrededor de la primera capa de la hoja envuelta, así:
A medida que continuamos girando el cilindro, ocupa más y más capas de la hoja, cada capa consta de una sección cilíndrica que recorre la mayor parte del camino alrededor del rollo, seguida de una sección plana que une esta capa a la siguiente. Terminamos con algo como esto:
Observe que corté la hoja justo en el punto donde estaba a punto de entrar en otra sección recta. Afirmo (sin pruebas) que esto produce un máximo local en la relación entre la longitud de la hoja de papel envuelta y el mayor grosor de papel alrededor del cilindro interior. El próximo máximo local (reclamo) ocurrirá en el punto correspondiente del siguiente ajuste de la hoja.
La pregunta ahora es cuál es el grosor de cada capa. La superficie interior de la parte cilíndrica de cada capa de la hoja envuelta tiene menos área que la superficie exterior, pero la parte de la hoja original (desenvuelta) que se enroló en el rollo para hacer esta capa tenía el mismo área en ambos lados. Entonces, o la superficie interna se comprimió de alguna manera, o la superficie externa se estiró, o ambas cosas.
Creo que la suposición más realista es que se produjeron tanto compresión como estiramiento. En realidad, supongo que la superficie interior se comprime más que la superficie exterior se estira, pero no sé cuál sería la relación más probable entre compresión y estiramiento. Es más sencillo suponer que los dos efectos son iguales. La longitud de la hoja utilizada para hacer cualquier parte de una capa del rollo es, por tanto, igual a la longitud de la superficie a medio camino entre las superficies interior y exterior de esa capa. Por ejemplo, para envolver la primera capa a la mitad del cilindro central de radio $ r $, usamos una longitud $ pi left (r + frac h2 right) $ de la hoja de papel.
La razón por la que esto simplifica particularmente nuestros cálculos es que la longitud del papel utilizado en cualquier parte del rollo es simplemente el área de la sección transversal de esa parte del rollo dividida por el grosor del papel.
Todo el rollo tiene un radio interior $ r $ y un radio exterior $ R = r + nh $, donde $ n $ es el número máximo de capas en cualquier punto alrededor del cilindro central. (En la figura, $ n = 5 $.) Las líneas azules son los lados de un triángulo rectángulo cuyos vértices son el centro del cilindro interior y los puntos donde la primera capa toca por última vez el cilindro interior y primero toca su propio extremo. Este triángulo tiene hipotenusa $ r + h $ y un cateto es $ r $, por lo que el otro cateto (que es la longitud de la parte recta de la hoja) es $$ sqrt (r + h) ^ 2 – r ^ 2 = sqrt (2r + h) h. $$ Cada porción recta de cada capa se conecta a la siguiente capa de papel envolviendo el punto de contacto con el extremo pegado de la hoja (la primera vez) o alrededor de la forma hecha al envolver la capa anterior alrededor de esta parte de la capa de abajo; esto forma un segmento de un cilindro entre las líneas rojas con el centro en el punto de contacto con el extremo pegado. El ángulo entre las líneas rojas es el mismo que el ángulo del triángulo azul en el centro del cilindro, a saber, $$ alpha = arccos frac r r + h. $$
Ahora sumemos todas las partes del rollo. Tenemos un cilindro hueco casi completo con radio interno $ r $ y radio externo $ R $, al que le falta solo un segmento del ángulo $ alpha $. El área de la sección transversal de este es $$ A_1 = left ( pi – frac alpha 2 right) (R ^ 2 – r ^ 2). $$ Tenemos un prisma rectangular cuya cruz el área de la sección es el producto de dos de sus lados, $$ A_2 = (R – r – h) sqrt (2r + h) h. $$ Finalmente, tenemos un segmento de un cilindro de radio $ R – r – h $ (entre las líneas rojas) cuya área transversal es $$ A_3 = frac alpha 2 (R – r – h) ^ 2. $$ Sumando esto y dividiendo por $ h $, la longitud total de la hoja llega a begin align L & = frac1h (A_1 + A_2 + A_3) \ & = frac1h left ( pi – frac alpha 2 right) ( R ^ 2 – r ^ 2) + frac1h (R – r – h) sqrt (2r + h) h + frac alpha 2h (R – r – h) ^ 2. end align
Para $ n $ capas en un rollo, usando la fórmula $ R = r + nh $, tenemos $ R – r = nh $, $ R + r = 2r + nh $, $ R ^ 2 – r ^ 2 = ( R + r) (Rr) = (2r + nh) nh $ y $ R – r – h = (n – 1) h $. La longitud entonces es begin align L & = left ( pi – frac alpha 2 right) (2r + nh) n + (n – 1) sqrt (2r + h) h + frac alpha h 2 (n – 1) ^ 2 \ & = 2n pi r + n ^ 2 pi h + (n-1) sqrt (2r + h) h – left (n (r + h) – frac h2 right) arccos frac r r + h \ & = n (R + r) pi + (n-1) sqrt (2r + h) h – left (n (r + h) – frac h2 right) arccos frac r r + h. end align
Una diferencia notable entre esta estimación y algunas otras (incluido el original) es que supongo que puede haber como máximo $ (Rr) / h $ capas de papel sobre cualquier parte del cilindro central, no $ 1 + (Rr) / h $ capas. La longitud total es el número de capas multiplicado por $ 2 pi $ multiplicado por el radio promedio, $ (R + r) / 2 $, ajustado por la cantidad que falta en la sección del rollo que es solo $ n – 1 $ hojas grueso.
Las cosas no son mucho peores si asumimos una relación diferente pero uniforme de compresión interna y estiramiento externo, siempre que mantengamos el mismo grosor de papel independientemente de la curvatura; solo tenemos que hacer un ajuste en los radios interior y exterior de cualquier segmento cilíndrico del rollo, que creo que dejaré como “un ejercicio para el lector”. Pero esto implica un cambio en el volumen de la hoja de papel. Si también mantenemos el volumen constante, encontramos que la hoja se vuelve más gruesa o más delgada dependiendo de la relación entre el estiramiento y la compresión y la curvatura de la hoja. Con volumen constante, la longitud del papel en la parte principal del rollo (en todas partes donde obtenemos el número total de capas) es la misma que en la estimación anterior, pero la longitud total de las partes de la hoja que conectan una capa a la siguiente puede cambiar ligeramente.
Actualizar: Por solicitud, estos son los resultados de aplicar la fórmula anterior a los valores de entrada dados como ejemplo en la pregunta: $ h = 0.1 $, $ R = 75 $ y $ r = 25 $ (inferidos de $ Rr = b = 50 $), todos medidos en milímetros.
Como $ n = (Rr) / h $, tenemos $ n = 500 $. Para una primera aproximación de la longitud total del papel, consideremos solo el primer término de la fórmula. Esto nos da $$ L_1 = n (R + r) pi = 500 cdot 100 pi approx 157079.63267949, $$ o aproximadamente $ 157 $ metros, lo mismo que en el ejemplo de la pregunta. Los dos términos restantes producen begin align L – L_1 & = (n-1) sqrt (2r + h) h – left (n (r + h) – frac h2 right) arccos frac r r + h \ & = 499 sqrt 50.1 cdot 0.1 – (500 (25.1) – 0.05) arccos frac 25 25.1 \ & approx -3.72246774. end align Esta es una corrección muy pequeña, menos de $ 2.4 veces 10 ^ – 5 L_1 $. En realidad (a diferencia de mi modelo idealizado de papel higiénico de volumen constante de espesor constante), esta “corrección” es sin duda insignificante en comparación con las incertidumbres de estimar el grosor promedio del papel en cada capa de un rollo (sin mencionar las falta de uniformidad en la forma en que es laminado por la maquinaria de fabricación).
También podemos comparar $ lvert L – L_1 rvert $ con la cantidad de papel que faltaría si el papel en el segmento “plano” del rollo estuviera en su lugar $ n – 1 $ capas siguiendo la curva del resto de papel. El ángulo $ alpha $ es aproximadamente $ 0.089294 $ radianes (aproximadamente $ 5.1162 $ grados), por lo que si la capa que falta fuera la capa más interna, su longitud sería de $ 25.05 alpha approx 2.24 $, y si fuera la capa más externa sería $ 74.95 alpha approx 6.69 $ (en milímetros).
Solo para divertirme, también intenté expandir $ L – L_1 $ como una serie de potencia alrededor de $ h = 0 $ (con un poco de ayuda de Wolfram Alpha). (Para hacer de $ L – L_1 $ una función de una variable $ h $ con constantes $ R $ y $ r $, haga la sustitución $ n = (R – r) / h $.) Esto resulta ser una serie de potencias de $ sqrt h $ cuyo término principal es $$ – frac (R + 2r) sqrt2 3 sqrt r sqrt h. $$ Al agregar los valores del ejemplo, esto se evalúa en aproximadamente $ -3.7267799625 $. Si realmente quisiera la longitud del rollo de papel higiénico idealizado al milímetro más cercano, pero pudiera tolerar un error de unos pocos $ mu mathrm m $ (para las dimensiones típicas de un rollo de papel higiénico), una aproximación adecuada sería $$ L aproximadamente frac pi (R ^ 2 – r ^ 2) h – frac (R + 2r) sqrt2 3 sqrt r sqrt h. $$
Tu aproximación es excelente. Es más fácil hacer $$ begin align L = sum_ k = 0 ^ N 2 pi (r + kh) & = 2 pi r (N + 1) +2 pi h frac 12N (N + 1) \ & = 2 pi r (N + 1) + pi (Rr) (N + 1) \ & = pi (R + r) (N + 1) \ & = pi (R + r) left ( frac Rr h + 1 right) end align $$
No tiene que preocuparse por la compresión del papel porque $ h $ es la distancia entre dos capas a medida que se enrolla el papel. Esto puede ser mayor que el grosor medido de una hoja, pero eso no es un problema. Como dices, has modelado el papel como una serie de cilindros concéntricos. Para convertirlo en una espiral, no está muy mal (y un poco mejor que lo que tiene) considerar que el radio aumenta linealmente de principio a fin. El papel entonces será la hipotenusa de un triángulo rectángulo con un lado el $ L $ que has calculado y el otro $ Rr $, entonces la longitud se convierte en $$ L ‘= sqrt L ^ 2 + (Rr) ^ 2 approx L left (1+ frac Rr 2L ^ 2 right) $$ Es una pequeña corrección.
Supongo que puedes tomar las capas de papel que son estrictamente circulares, no espirales. La diferencia entre la longitud de un círculo y un bucle en espiral correspondiente es insignificante.
Entonces, el área entre círculos con radios $ R $ y $ r $ es un área lateral de la cinta de papel, que es su longitud por espesor: $$ pi (R ^ 2-r ^ 2) = Lh $$ por lo tanto $$ L = pi frac R ^ 2-r ^ 2 h $$
Calificaciones y reseñas
Al final de todo puedes encontrar las reseñas de otros desarrolladores, tú también puedes dejar el tuyo si te apetece.