Si encuentras algún problema en tu código o trabajo, recuerda probar siempre en un ambiente de testing antes subir el código al trabajo final.
Solución:
Paso 1: encuentra valores propios. $ chi_A ( lambda) = det (A- lambda I) = – lambda ^ 3 + 5 lambda ^ 2-8 lambda + 4 = – ( lambda-1) ( lambda-2) ^ 2 $. Tenemos suerte, todos los valores propios son reales.
Paso 2: para cada valor propio $ lambda_ imath $, encuentra el rango de $ A- lambda_ imath I $ (o mejor, nulidad, $ dim ( ker (A- lambda_ imath I)) $) y el propio kernel. Para $ lambda = 1 $:
$$ A- lambda I = pmatrix -8 && 8 && 2 \ -4 && 4 && 1 \ -23 && 21 && 6, ker (A- lambda I) = L ( pmatrix 3 \ 1 \ 8) $$
La multiplicidad algebraica de la raíz es 1, la multiplicidad geométrica es 1, hemos terminado aquí. Para $ lambda = 2 $:
$$ A- lambda I = pmatrix -9 && 8 && 2 \ -4 && 3 && 1 \ -23 && 21 && 5, ker (A- lambda I) = L ( pmatrix 2 \ 1 \ 5) $$
La multiplicidad algebraica de la raíz es 2, la multiplicidad geométrica es 1. No tenemos suerte, ahora tenemos que resolver
$$ (A- lambda I) v = pmatrix 2 \ 1 \ 5 sim v = pmatrix 0 \ 0 \ 1 $$Paso 3: nuestra matriz en base $ ( pmatrix 3 \ 1 \ 8, pmatrix 2 \ 1 \ 5, pmatrix 0 \ 0 \ 1) $ tiene forma $ J_A = pmatrix 1 && 0 && 0 \ 0 && 2 && 1 \ 0 && 0 && 2 $. Matriz $ P $ correspondiente a este cambio de base es $ pmatrix 3 && 2 && 0 \ 1 && 1 && 0 \ 8 && 5 && 1 $, es decir $ P ^ – 1 AP = J_A $.
Si no te interesa la informática $ P $, entonces la forma de Jordan se puede calcular usando esto:
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El número de bloques de Jordan con entrada diagonal como $ lambda $ es la multiplicidad geométrica de $ lambda $.
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El número de bloques de pedido de Jordan $ k $ con entrada diagonal $ lambda $ es dado por $ rango (A- lambda I) ^ k-1 -2 , rango (A- lambda I) ^ k + rango (A- lambda I) ^ k + 1. $
Aquí, las multiplicidades geométricas de $ lambda = 1,2 $ son cada uno $ 1. $ Y $ 1 $ tiene multiplicidad algebraica $ 1 $ donde a partir de $ 2 $ la multiplicidad algebraica es $ 2. $ Entonces, usando solo la condición (1), vemos que hay un bloque de orden de Jordan $ 1 $ con $ lambda = 1 $ y un bloque de Jordan con $ lambda = 2. $. Entonces, la forma de Jordan es como se calculó arriba. (por supuesto, hasta una permutación de los bloques de Jordan).
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