Analizar la propiedad simétrica de matrices definidas positivas

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Solución:

La mayoría de los autores definen las matrices definidas positivas como una subclase de las matrices simétricas. Esto no es necesario, pero entonces las definiciones generalmente equivalentes de matrices definidas positivas divergen.

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Matrices definidas positivas por productos internos

Si considera $langle v, A vrangle> 0,forall vinBbb R^nsetminus$ como la propiedad definitoria, entonces considere una matriz $A=S+T$, donde $S$ es simétrica y definida positiva (no hay problema de definición porque es simétrica), y $T$ es una matriz asimétrica distinta de cero, es decir, $T^top=-T$. Entonces $A$ no es simétrica, sino definida positiva porque

$$defángulo< v, A v>==soporte_>, 0+soporte_=,0> 0,qquadtextpara todo $vinBbb R^nsetminus$.$$

Tenga en cuenta que $=0$ porque $==<-Tv,v>=-ps

Ejemplo. Tome la matriz identidad definida positiva $I$ y la matriz asimétrica

$$S=beginpmatrix phantom+0 & 1 \ -1 & 0 endpmatrix.$$

De esto obtenemos la matriz positiva definida pero no simétrica

$$A=I+S=beginpmatrix phantom+1 & 1 \ -1 & 1 endpmatrix.$$

Sin embargo, los valores propios ya no son reales (son $1pm i$), por lo que ya no son positivos en el sentido habitual. Sin embargo, todavía están ubicados en el semiplano positivo. De todos modos, los valores propios no reales no son un problema para la propiedad definitoria, ya que tenemos $=v_1^2+v_2^2> 0$.

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Matrices definidas positivas por valores propios

Si define una matriz definida positiva teniendo solo valores propios positivos, también hay ejemplos no simétricos. Por ejemplo, tomar

$$A=beginpmatrix phantom+1 & 0 \ -1 & 2 endpmatrix$$

que no es simétrico, pero tiene valores propios positivos $1$ y $2$ solamente.

Puede encontrar más matrices de este tipo de las siguientes maneras:

• Método 1. Elija una base $v_1,…,v_n$ de $Bbb R^n$, pero ninguna base ortogonal. En el ejemplo anterior, elegí $(1,0)$ y $(1,1)$. Luego elija $n$ valores propios diferentes $lambda_1,…,lambda_n> 0$. Sea $V=(v_1,…,v_n)^top$ la matriz con $v_i$ como su filas, y $D=mathrmdiag(lambda_1,…,lambda_n)$. Entonces la matriz $$A=VDV^-1$$ no es simétrica y solo tiene valores propios positivos $lambda_1,…,lambda_n$. Que no sea simétrico se puede ver de la siguiente manera: los $v_i$ serán los vectores propios de su matriz $A$. Pero las matrices simétricas tendrán una base ortogonal de vectores propios, mientras que nuestra matriz no la tendrá (porque las hemos elegido de esta manera). Entonces no puede ser simétrica.

• Método 2. Elija una matriz triangular superior/inferior no diagonal (solo valores distintos de cero por encima o por debajo de la diagonal). Si coloca solo valores positivos en la diagonal, entonces esta matriz tendrá solo valores propios positivos (ya que estos son exactamente los valores en la diagonal), pero obviamente no es simétrica. Al colocar valores suficientemente grandes fuera de la diagonal, podemos tener valores propios positivos, sin satisfacer $>0$ para todos los $vinBbb R^nsetminus$. Elija, por ejemplo, $$A=beginpmatrix phantom+101 & 0 \ -100 & 2 endpmatrix.$$ Esta matriz tiene de nuevo valores propios $1$ y $2$, pero $=v_1^2+2v_2^2-100v_1v_2$, por lo tanto $v=(1,1)$ da $=-97<0$.

Recuerde que cualquier matriz se puede expresar como la suma de una parte simétrica y una parte sesgada de la siguiente manera

$$A=overbracefrac12(A+A^T)^simétrico+overbracefrac12(AA^T)^sesgo$$

y dado que la forma cuadrática de la parte oblicua es igual a $0$, tenemos que la definición positiva depende únicamente de la parte simétrica.

A veces se requiere simetría en la definición. Si se elimina el requisito de simetría, entonces $$ beginpmatrix 1 & 1 \ -1 & 1 endpmatrix $$ es definido positivo, pero no simétrico.

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