Buscamos por diferentes espacios para regalarte la solución para tu inquietud, en caso de alguna inquietud puedes dejarnos la inquietud y respondemos con mucho gusto.
Solución:
No es: $lim_ntoinfty1^n=1$, exactamente como sugieres. Sin embargo, si $f$ y $g$ son funciones tales que $lim_ntoinftyf(n)=1$ y $lim_ntoinftyg(n)=infty$ , está no necesariamente true que
$$lim_ntoinftyf(n)^g(n)=1;.tag1$$
Por ejemplo, $$lim_ntoinftyleft(1+frac1nright)^n=eapprox2.718281828459045;.$$
Más generalmente,
$$lim_ntoinftyleft(1+frac1nright)^an=e^a;,$$
y como $a$ varía sobre todos los números reales, $e^a$ varía sobre todos los números reales positivos. Finalmente,
$$lim_ntoinftyleft(1+frac1nright)^n^2=infty;,$$
y
$$lim_ntoinftyleft(1+frac1nright)^sqrt n=0;,$$
por lo tanto, un límite de la forma $(1)$ siempre debe evaluarse por sus propios méritos; los límites de $f$ y $g$ no determinan por sí mismos su valor.
El límite de $1^infty$ existe:$$lim_ntoinfty1^n$$ no es indeterminado. Sin embargo, $$lim_ato 1^+,ntoinftya^n$$ es indeterminado.
Hay muchas razones. Por ejemplo, sea $1^infty=1$. Tomando el logaritmo, tienes $inftycdot 0=0$. Análogamente para otras operaciones obtendrás algún absurdo.
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