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Solución:
Para cada variable aleatoria independiente $X_1$ y $X_2$ con densidades $f_1$ y $f_2$ y cada función medible $g$, $$ operatorname E[g(X_1,X_2)]=int_D_1int_D_2 g(x_1,x_2) f_1(x_1) f_2(x_2) , mathrmdx_2 , mathrmdx_1. $$ donde $D_1$ y $D_2$ son los dominios de $X_1$ y $X_2$. Como $f_1(x_1) = f_2(x_2) = 1/2$, y $D_1=D_2=[0,2]$ tenemos eso
$$ nombre del operador E[|X_1-X_2|]=int_0^2int_0^2 frac4 , mathrmdx_2 , mathrmdx_1 =frac23. $$
Alternativamente, podemos evitar la integración (explícitamente) mediante el uso de fórmulas de expectativa condicional y media/varianza:
$$ beginalign mathbbE[|X_1 – X_2|]
&= mathbbEgrande[mathbbE[abs(X_1-X_2)|X_2]grande]\ &= mathbbEGrande[
fracX_2^24 + frac(2-X_2)^24
Bigg] \ &= frac14mathbbE[X_2^2 + (2-X_2)^2] \ &= frac14mathbbE[X_2^2 + 4 – 4X_2 + X_2^2] \ &= frac14mathbbE[X_2^2] + 1 – mathbbE[X_2] + frac14mathbbE[X_2^2] \ &= frac12mathbbE[X_2^2]^2 \ &= frac12mathbbE[X_2]^2 + frac12textvar[X_2] \ &= frac12 + frac16 = frac23 endalign $$
La segunda línea sigue como la probabilidad $matemáticasP[X_1 < X_2 | X_2] = fracX_22$y en ese caso la expectativa es $matemáticasE[abs(X_1-X_2)|X_2, X_1