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Una pregunta sobre $f(x)equiv 0$

No olvides que en las ciencias informáticas cualquier problema casi siempre tiene diferentes soluciones, por lo tanto nosotros aquí compartiremos lo más óptimo y eficiente.

Dejar

$$F(x) := int_0^xf(t),dt.$$

Entonces nosotros tenemos

$$g(x) = fracddx left(frac12 F(x)^2right).$$

Dado que se supone que $g$ decrece monótonamente (no estrictamente), tenemos $g(x) geqslant 0$ para $x < 0$ and $g(x) leqslant 0$ for $x > 0$. Por lo tanto, tenemos

$$frac12 F(x)^2 leqslant frac12 F(0)^2$$

por $x < 0$ as well as for $x > 0$. Pero como $F(0)= 0$, se sigue que $Fequiv 0$. A partir de ahí, $f equiv 0$ se sigue fácilmente.

Voy a probar por contradicción que

si $;x_0;$ es un número real y si $;f;$ es una función continua en $;izquierda]-infty,+inftyright[;$ such that $;int_limitsx_0^x f(t)dt=0;;;forall xinmathbbR;,;;$ then
$f(x)=0;;;forall xinmathbbR$.

Proof:

If there were $;x^*inmathbbR;$ such that $;fleft(x^*right)ne0;$, without loss of generality, we could suppose that $;fleft(x^*right)>0;$.

By continuity of the function $;f;$, it would exist $;delta>0;$ for which $;f(x)>0;;;;forall xinleft[x^*-delta,x^*+deltaright]PS.

Por eso $;;int_limitsx^*-delta^x^*+delta f(t)dt>0;.colorazul{quad{

PS

Por otro lado obtenemos que

$int_limitsx^*-delta^x^*+delta f(t)dt=int_limitsx_0^x^*+delta f(t)dt- int_limitsx_0^x^*-delta f(t)dt=0;,colorazulquad(**)$

de hecho, por hipótesis, resulta que$;int_limitsx_0^xf(t)dt=0;;;forall xinmathbbR$

. Pero $;(**);$ contradicePS

PS . Entonces no es posible que exista alguna $;x^*inmathbbR;$para cual

$;fizquierda(x^*derecha)ne0;$

de lo contrario daría lugar a una contradicción.Por eso,

$f(x)=0;;;para todas las xinmathbbR$.

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