Posterior a indagar en diversos repositorios y foros de internet al final descubrimos la solución que te mostramos pronto.
Solución:
Responderé mi propia pregunta ya que pude encontrar la solución a mi problema con la ayuda de un comentarista. La definición del tensor de identidad $I = delta_ikdelta_jl e_i otimes e_j otimes e_k otimes e_l$ es correcta pero no conduce a un tensor con simetrías menores.
Mi error fue usar esta definición de la identidad y aplicarle la transformación de Mandel. La transformación de Mandel conserva el producto escalar doble y el inverso si y solo si los tensores transformados tienen las simetrías menores. Como se sugiere en la revisión de Helnwein mencionada por @user3658307 a quien agradezco su ayuda, la definición que se debe usar para el tensor de identidad en el caso de simetrías menores es:
$$ I = frac12( delta_ikdelta_jl + delta_ildelta_jk)e_i otimes e_j otimes e_k a veces e_l $$
Que tiene las simetrías menores y, por lo tanto, se puede poner en la representación de Mandel que produce:
$$
[I] = beginbmatrix 1 & 0&0&0&0&0 \ 0&1&0&0&0&0\0&0&1&0&0&0\0&0&0&1&0&0\0&0&0&0&0&1&0\0&0&0&0&0&1endbmatrix $$
Si está interesado en una presentación más rigurosa de este tema (representación matricial de tensores), le recomiendo leer la reseña antes mencionada. En particular, uno debe tener mucho cuidado con la covarianza y la contravarianza de los tensores que está manejando, ya que en algunos casos particulares, su representación matricial puede diferir incluso si $A^ij_kl = A_ij^ kl$.
Nota sobre el inverso:
Mi objetivo original era encontrar una manera fácil de invertir tensores de cuarto orden con simetrías menores utilizando algoritmos de inversión habituales para matrices. No siempre es posible en el caso general. ya que la representación matricial de un tensor general de cuarto orden que posee solo simetrías menores no siempre es invertible en el espacio de matrices $6times 6$. Sin embargo, se sabe que dada una matriz aleatoria de $n times n$ con coordenadas reales, la ‘probabilidad’ de que sea invertible es de $1$ en el sentido de la medida de Lebesgue. En elasticidad lineal o física en general, uno debería poder calcular una inversa en cada caso.
En esta era moderna de las computadoras, no estoy seguro de por qué alguien está enamorado de estos viejos comprimidos $,6veces 6,$ formatos más.
El apilamiento de columnas transformará cualquier $,3veces 3,$ matriz en un $,9veces 1,$ vector.
$$ [S] = rm vec(S) = beginbmatrix S_11 \S_21\S_31\S_12\S_22\S_32 S_13\S_23 \S_33 endbmatriz $$
El índice $(alfa)$ de los elementos del vector se puede calcular a partir del par de índices $(i,j)$ de los elementos de la matriz con aritmética simple mod-3, y viceversa.
$$eqalign &alpha = 1+(i-1),%,3 + (j-1)times 3 \ &i = 1+(alpha-1),%, 3,quad j = 1+(alpha-1),//,3 \ &alphain[1ldots 9],quadquad i,jin[1ldots 3]
$$
Ampliación de esta asignación de índices a un índice/par de índices adicional $grande(beta,, (k,l)grande)$ permite un tensor de cuarto orden $C_ijkl$ ser aplanado en una matriz ps[C]_ alfabeta,$ en un perfectamente reversible camino.
$$ [C] = beginbmatriz C_1111 &C_1121&C_1131&C_1112&C_1122&C_1132&C_1113&C_1123 &C_1133\ C_2111 &C_ 2121&C_2131&C_2112&C_2122&C_2132&C_2113&C_2123 &C_2133\ C_3111 &C_3121&C_3131&C_3112&C_ 3122&C_3132&C_3113&C_3123 &C_3133\ C_1211 &C_1221&C_1231&C_1212&C_1222&C_1232&C_1213&C_ 1223 &C_1233\ C_2211 &C_2221&C_2231&C_2212&C_2222&C_2232&C_2213&C_2223 &C_2233\ C_3211 &C_3221&C_3231&C_3212&C_3222&C_3232&C_3213&C_3223 &C_3233\ C_1311 &C_1321&C_1331&C_1312 &C_1322&C_1332&C_1313&C_1323 &C_1333\ C_2311 &C_2321&C_2331&C_2312&C_2322&C_2332&C_2313 &C_2323 &C_2333\ C_3311 &C_3321&C_3331&C_3312&C_3322&C_3332&C_3313&C_3323 &C_3333 endbmatriz $$
Esta es una transformación muy limpia y fácil de codificar, ya que no requiere factores de escala ridículos como $(2,raíz cuadrada 2)$ en las tres cuartas partes de los plazos.
Un producto de dos puntos entre dos tensores se convierte en un producto de un solo punto en la representación de matriz plana, es decir
$$eqalign C &= A:B &implica C_ijmn = A_ijklB_klmn \
[C]
&= [A]cdot[B]
&implica [C]_ alfalambda = [A]_Alfa Beta,[B]_ betalambda $$
Finalmente, el inverso de un $,9veces 9,$ matriz ps[C]^-1$ (si existiera) se puede reconstituir en un tensor de cuarto orden. No en algún sentido probabilístico, sino en todos los casos.
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