Esta es el arreglo más correcta que encomtrarás aportar, pero mírala detenidamente y analiza si se puede adaptar a tu trabajo.
Solución:
Sea $(B_k)_k$ una secuencia de iid variable aleatoria distribuida de Bernoulli con $P(B_k=1)=p$ para $k=1,2,dots$
Entonces $$X:=B_1+cdots+B_n$$ se distribuye binomialmente con los parámetros $n,p$ y $$Y:=B_n+1+cdots+B_n+m$$ se distribuye binomialmente con parámetros $m,p$. Es evidente que $X$ y $Y$ son independientes.
Ahora date cuenta de que $$X+Y=B_1+cdots+B_n+m$$ se distribuye binomialmente con los parámetros $n+m,p$.
Esto le ahorra cualquier cálculo.
Solo calcula. Supongamos que $X sim defBinmathordrm BinBin(n,p)$, $Y sim Bin(m,p)$. Ahora sea $0 le k le n+m$, luego beginalign* defPmathbb PP(X+Y = k) &= sum_i=0^k P(X = i, Y = ki)\ &= sum_i=0^k P(X=i)P(Y=ki) & textpor independencia\ &= sum_ i=0^k binom ni p^i (1-p)^ni binom mki p^ki (1-p)^m-k+i\ &= p^k(1-p)^n+mksum_i=0^k binom ni binom mki \ &= binom n+mkp^k (1-p )^n+mk endalign* Por lo tanto, $X+Y sim Bin(n+m,p)$.
Otra forma: supongamos que $Xsim$ Bin$(n, p)$ y $Ysim$ Bin$(m, p)$. La función característica de $X$ es entonces $$varphi_X(t) = E[e^itX]=sum_k=0^ne^itknelegir kp^k(1-p)^nk=sum_k=0^nnelegir k (pe ^it)^k(1-p)^nk=(1-p+pe^it)^n.$$
Como $X, Y$ son independientes, $$varphi_X+Y(t)=varphi_X(t)varphi_Y(t)=(1-p+pe^it)^n(1 -p+pe^it)^m=(1-p+pe^it)^n+m.$$
Por unicidad, obtenemos $X+Ysim$ Bin$(n+m, p)$.
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