Después de buscar en varios repositorios y foros de internet al final encontramos la solución que te mostraremos más adelante.
Solución:
Estás en lo correcto. Si por $ sin theta $ queremos decir $ frac text opuesto text hipotenusa $ entonces $ sin 270 $ de hecho no tiene sentido. Por lo tanto, es un poco falso decir que
$$ sin theta: = frac text opuesto text hipotenusa ,. $$
(El $: = $ signo significa ‘definido para ser igual a’.)
Los matemáticos rara vez usan la definición anterior por esta razón exacta: la definición solo se aplica cuando $ 0 < theta <90 $. Es mucho más útil tener una definición que se aplique a todo valores de $ theta $, incluso valores negativos. Para crear esta nueva definición extendida de seno, usamos un círculo unitario:
Un círculo unitario es un círculo con un radio de uno. Si colocamos un triángulo en el círculo unitario, como se muestra en el diagrama, entonces sabemos que
$$ sin theta = frac text opuesto text hipotenusa = frac text opuesto 1 = text opuesto = y text -coordinate ,. $$
Hasta ahora, acabamos de utilizar la antigua definición de seno, pero si queremos $ sin theta $ tener un valor significativo cuando $ theta $ no esta entre $ 0 $ y $ 90 $ grados, entonces podemos decir que $ sin theta $ es simplemente el $ y $-coordina cuando vas $ theta $ grados en sentido antihorario alrededor del círculo unitario, comenzando desde el punto $ (1,0) $. En este contexto, ya no estamos hablando de triángulos rectángulos, y la definición se aplica sin importar cuán grandes o pequeños sean. $ theta $ es. Eso es mucho para asimilar, y puede que no le quede claro por qué definiríamos sine de esta manera. Hay dos razones por las que hacemos esto:
- Esta definición tiene sentido cuando $ theta $ es ningún número, mientras que la definición de triángulo rectángulo de seno solo tiene sentido cuando $ 0 < theta <90 $. *
- Cuándo $ theta $es Entre $ 0 $ y $ 90 $ grados, luego las dos definiciones de seno, la vieja y la nueva, “están de acuerdo”. Por ejemplo, $ sin 30 $ es tanto la razón del lado opuesto a la hipotenusa, y el $ y- $coordinar cuando te vayas $ 30 $ grados en sentido antihorario alrededor de un círculo unitario. Esto no es una coincidencia. Literalmente definimos seno de tal manera que la antigua definición todavía se aplica cuando $ 0 < theta <90 $.
Ampliar la definición de algo es muy común en matemáticas. Probablemente lo hayas visto antes. Por ejemplo, cuando $ n $ es un número entero positivo, podemos decir que
$$ a ^ n = underbrace a times a times a times a times cdots times a _ n text times ,. $$
Pero probablemente sepas que $ 9 ^ 1/2 $ es. De nuevo, $ 9 ^ 1/2 $ no tiene sentido cuando lo define de la forma anterior. En cambio, decimos que
$$ a ^ p / q = ( sqrt[q]a) ^ p ,. $$
Esto significa que $ 9 ^ 1/2 = sqrt 9 = 3 $. ¿Por qué definimos exponentes de esta manera? Es porque las propiedades esenciales de exponenciación se conservan bajo la nueva definición. Es muy obvio que cuando $ m $ y $ n $ son enteros positivos, que
$$ a ^ m + n = a ^ m veces a ^ n ,. $$
Si definimos $ a ^ p / q $ como $ ( sqrt[q]a) ^ p $, entonces todavía es true ese
$$ a ^ m + n = a ^ m veces a ^ n $$
incluso cuando $ m $ y $ n $ son no enteros positivos. En el caso de la trigonometría, la gente notó que si colocamos un triángulo en un círculo unitario, entonces el $ y- $coordenada del triángulo es igual a $ sin x $. Ampliar la definición de seno significa que esta propiedad aún se mantiene, incluso cuando $ theta $ no esta entre $ 0 $ y $ 90 $ grados. También significa que el gráfico de seno tiene muchas simetrías agradables, como $ sin ( theta) = – sin (- theta) $.
Gracias a congusbongus por compartir esta encantadora animación. Fuente: Conceptos matemáticos visualmente impresionantes que son fáciles de explicar.
*Cuándo $ theta $ es negativo, en lugar de movernos en sentido antihorario, nos movemos en sentido horario alrededor del círculo unitario. Cuando piensa que los números negativos son “opuestos” a los números positivos, esto parece lógico.
Con el fin de mantener esta publicación accesible, no mencioné números complejos. Sin embargo, valdría la pena señalar que podemos ampliar aún más la definición de seno. Si consideramos la serie de seno de Taylor,
$$ sin theta = theta – frac theta ^ 3 3! + frac theta ^ 5 5! – frac theta ^ 7 7! + cdots $$
entonces el RHS es significativo incluso cuando $ theta in mathbb C $. Entonces, en lugar de tratar la serie de seno de Taylor como un resultado que puede derivar, puede usarlo como el definición de seno. Ciertamente no puedes ir $ i $ radianes en sentido antihorario alrededor de un círculo unitario. Sin embargo, tu poder enchufe $ i $ en la fórmula
$$ theta – frac theta ^ 3 3! + frac theta ^ 5 5! – frac theta ^ 7 7! + cdots ,. $$
Por lo tanto, podemos definir $ sin z $ como
$$ z – frac z ^ 3 3! + frac z ^ 5 5! – frac z ^ 7 7! + cdots $$
para todos $ z in mathbb C $. Entonces, una vez más, el seno se vuelve más abstracto, pero más poderoso.
Aunque la palabra ‘trigonometría’ originalmente significaba ‹medición de triángulos›, la trigonometría en realidad es mucho más que simples triángulos. La formula $ operatorname seno = operatorname opuesto ÷ operatorname hipotenusa $ es correcto cuando se habla de ángulos en un triángulo rectángulo, pero eso es solo una pequeña parte de las formas en que los ángulos aparecen en la geometría, y la geometría en sí es solo una parte de lo que sirve el seno. Así que es un lugar para comenzar, pero hay mucho más en el seno que eso.
Los dos comentarios que han aparecido bajo su pregunta hasta ahora (por Deepak y runway44) le presentarán los usos de los senos en geometría más allá de los triángulos rectángulos. La otra respuesta hasta ahora (de Christian Blatter) apunta a una aplicación no geométrica: procesos cíclicos a través del tiempo. (ETA: Y ahora hay otra respuesta, de Joe, que habla de ambos). Estas son todas las cosas que querrá aprender para comprender la trigonometría. Pero la respuesta simple a tu pregunta es que tu fórmula solo se aplica al caso especial de los triángulos rectángulos.
La definición de función $ sin ( alpha) $ que mencionaste es correcto, pero es aplicable solo para $ 90> alpha> 0 $
Una definición mucho mejor de esta función sería: $ sin ( alpha): = y $ coordenada de un vector unitario con origen en $ (0, 0) $, tal que el ángulo entre el vector y $ x $ eje es $ alpha $. Da el mismo resultado que la primera definición si $ 90> alpha> 0 $, pero funciona para cualquier $ alpha $.
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