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Solución:
Si $A$ es simétrico, es diagonalizable. Así que escribe $$A = PDP^-1$$ donde $D = textdiag(lambda_1, …, lambda_n)$ es una matriz diagonal cuyas entradas son los valores propios de $A$. Así $$e^A = Pe^DP^-1$$ y es fácil ver que $e^D = textdiag(e^lambda_1, …, e^ lambda_n)$. Pero como la exponencial siempre es positiva, esto significa que todos los valores propios de $e^A$ son positivos. Por lo tanto, $e^A$ es definido positivo.
Dado que $A$ es simétrico y el operador $cdot^Tcolon Ain mathcal M_n(mathbb R)mapsto A^Tinmathcal M_n(mathbb R)$ es continuo (como un operador lineal en un espacio vectorial de dimensión finita), la matriz $e^A/2$ es simétrica. Por lo tanto, tenemos para $xinmathbb R^n$: $$x^Te^Ax=x^Te^A/2e^A/2x=x^T(e^A /2)^Te^A/2x =(e^A/2x)^Te^A/2x=lVert e^A/2xrVert^2geq 0,$$ y como $e^A/2$ es invertible, tenemos la igualdad si y solo si $x=0$, lo que demuestra que $e^A$ es definida positiva.