Por fin luego de mucho luchar pudimos encontrar la contestación de esta inconveniente que ciertos los usuarios de este sitio web han presentado. Si tienes algún detalle que aportar no dudes en dejar tu comentario.
Solución:
Solución 1:
Desafortunadamente, el sentido en el que los orbitales son ortogonales es más o menos imposible de definir rigurosamente sin recurrir a funciones de algún tipo. Entonces, daré una explicación usando algunas funciones 1-D simples para ilustrar el concepto, seguidas del ejemplo pictórico orbital que ha solicitado.
En un nivel básico, para que dos funciones sean ortogonales, es necesario definir una “regla de mezcla” para ellas. La regla de mezcla más útil para orbitales resulta ser la integración del producto de las dos funciones $ ^ dagger $ sobre algún dominio definido.
Entonces, considere dos funciones 1-D reales, $ f (x) $ y $ g (x) $, definidas en un intervalo $ x =[a,b]PS La regla de mezcla $ Pi , _ a ^ b ! Left (f, g right) $ la definiré de la siguiente manera:
$$ Pi , _ a ^ b ! Left (f, g right) rightarrow int_a ^ b f (x) g (x) , dx $$
En pocas palabras, dos funciones $ f (x) $ y $ g (x) $ son ortogonales según la regla de mezcla $ Pi , _ a ^ b $ (¡o cualquier otra regla de mezcla!) Si y solo si $ Pi , _a ^ b ! left (f, g right) = 0 $.
Un ejemplo bastante estándar de dos funciones ortogonales en este marco sería el siguiente:
begin align * f (x) & = cos (2 pi x) \ g (x) & = sin (2 pi x) \ a & = 0 \ b & = 1 end alinear*
La integral a verificar de lo anterior es:
$$ Pi , _ 0 ^ 1 ! Left (f, g right) rightarrow int_0 ^ 1 cos (2 pi x) , sin (2 pi x) , dx $ PS
Dado que esto es Stack Exchange y no un examen de matemáticas, ahora haré trampa y solo vincularé a Wolfram Alpha para demostrar que la integral anterior es, de hecho, cero. Por lo tanto, en el dominio $ x =[0,1]$, $ sin (2 pi x) $ y $ cos (2 pi x) $ son ortogonales.
Por otro lado, para elegir algunos ejemplos aleatorios, $ f (x) = – x $ y $ g (x) = ln (x) $ son no ortogonal en el intervalo $ x =[0,1]PS
$$ Pi , _ 0 ^ 1 ! Left (f, g right) rightarrow int_0 ^ 1 left (-x right) ln (x) , dx = 0.25 $$
De manera similar, las dos funciones originales no son ortogonales en el intervalo $ x =[0.2,0.9]PS
$$ Pi , _ 0.2 ^ 0.9 ! Left (f, g right) rightarrow int_ 0.2 ^ 0.9 cos (2 pi x) , sin ( 2 pi x) , dx = -0.0444852 $$
Ok, basta con la lección de matemáticas. ¿Cómo ayuda esto a definir los orbitales ortogonales?
Bueno, los orbitales, tanto atómicos como moleculares, se definen (generalmente) como funciones tridimensionales en todo el espacio. Si tienes dos orbitales $ phi ! Left ( vec r right) $ y $ psi ! Left ( vec r right) $ y quieres saber si son ortogonales, usa una mezcla regla algo similar a $ Pi $ anterior y calcule la integral apropiada. Si el valor resultante es cero, entonces los orbitales son ortogonales.
Por ejemplo, considere un orbital $ 1 mathrm s $ y $ 2 mathrm p $ (sí, estos son orbitales atómicos, pero el principio también se aplica a los orbitales moleculares):
Aquí, los colores de los dos lóbulos del orbital $ 2 mathrm p $ son importantes: un color, digamos naranja, representa valores de función positivos; el otro, digamos azul, representa valores negativos. Sin embargo, para el orbital $ 1 mathrm s $, es todo naranja o todo positivo).
¿Qué sucede si, por $ Pi ! Left ( phi, psi right) $, centras estos dos orbitales uno encima del otro, multiplicas sus valores y los integras en todo el espacio? Bueno, la mitad del orbital $ mathrm p $ que es positivo dará como resultado contribuciones positivas a la integral de $ Pi $, y la mitad del orbital $ mathrm p $ que es negativo proporcionará contribuciones negativas a $ Pi $ integral. Y, además, debido a la simetría esférica del orbital $ mathrm s $ y la simetría de reflexión del orbital $ mathrm p $, esas dos contribuciones positivas y negativas exactamente cancelar. Por lo tanto, los orbitales atómicos $ 1 mathrm s $ y $ 2 mathrm p $ son ortogonal.
Epílogo: Entonces, dado todo esto, ¿por qué también decimos que los vectores que están a $ 90 ^ circ $ entre sí son ortogonal?
Bueno, solo involucra una regla de mezcla diferente (el dominio está implícito, derivando de la dimensionalidad de los dos vectores, que deben ser iguales):
$$ Gamma ! Left ( vec v_1, vec v_2 right) rightarrow vec v_1 cdot vec v_2 $$
Bajo la regla de mezcla (extraordinariamente común) $ Gamma ! Left ( vec v_1, vec v_2 right) $, se dice que los dos vectores $ vec v_1 $ y $ vec v_2 $ son ortogonales cuando $ vec v_1 cdot vec v_2 = 0 $.
Nota: En teoría, podría haberme vinculado a esta pregunta en Math.SE. Sin embargo, ninguna de las respuestas se expresó realmente en términos legibles.
$ ^ daga $ Técnicamente, integrando el producto de una función con el complejo conjugado de la otra: $ int_a ^ b f ^ * (x) g (x) , dx $
Solucion 2:
Se dice que un orbital atómico (o molecular) es ortogonal a otro orbital atómico (o molecular) si no hay interacción entre los electrones en un orbital con los electrones (función de onda) en el otro orbital ortogonal.
El acetileno es un ejemplo de una molécula en la que los dos enlaces pi son ortogonales entre sí (consulte el enlace pi azul claro y el enlace pi púrpura en la figura siguiente). Los dos enlaces pi son perpendiculares entre sí y no hay interacción de los electrones en uno de los enlaces pi del acetileno con los electrones en el otro enlace pi.
De la misma manera, los dos orbitales p de uno de los carbonos también son ortogonales entre sí. El electrón en un orbital p no interactúa con el electrón en el otro orbital p en el mismo carbono.
En el etileno, el enlace pi es ortogonal (perpendicular) al esqueleto sigma, como se muestra en la siguiente figura. Dado que los orbitales son ortogonales, no hay interacción entre los electrones sigma y pi (funciones de onda).
Por otro lado, los orbitales que interactúan y forman un enlace no son ortogonales. Los dos orbitales $ sp ^ 2 $ de los dos carbonos del etileno que se superponen para formar el enlace sigma $ ce CC $ no son ortogonales; los electrones interactúan y forman un enlace.
Solución 3:
Me pregunto si realmente te refieres a los orbitales moleculares. Comencemos con los orbitales atómicos. Modelamos un átomo aislado con tres orbitales P, cada uno de los cuales es una “campana tonta” orientada a lo largo de uno de los tres ejes perpendiculares (x, Y y z si lo desea). Por supuesto, hay otros orbitales, como sy posiblemente d, y otras capas que tienen los mismos tipos de orbitales pero con diferentes tamaños y números de nodos. Pero centrándonos en los tres orbitales p perpendiculares (de los que estoy seguro de que has visto una imagen), espero que puedas ver por qué los llamamos ortogonales. No se superponen, y los electrones en diferentes orbitales p esencialmente no interactúan para nuestros propósitos.
Ahora, el orbital s esférico que se encuentra en el centro de esas p no les parece “perpendicular”; pero no obstante, la s no interactúa con las p. Entonces decimos que el orbital s es ortogonal a los orbitales p, al igual que los p son entre sí. Ortogonal aquí significa más que perpendicular en el espacio, también se refiere a la relación matemática de estas formas.
Los orbitales moleculares se forman cuando los orbitales atómicos se superponen. A menudo también incluimos la hibridación orbital en este modelo. Los orbitales moleculares tienden a parecer un poco más complejos que nuestros orbitales atómicos familiares, y no siempre se puede percibir que aparezcan físicamente perpendiculares en el espacio. Sin embargo, como indiqué, la ortogonalidad es una propiedad más abstracta. En el contexto matemático adecuado, todavía podemos llamar a estos orbitales ortogonales, y todavía tiene un significado físico.
Aquí hay una fuente más detallada que probablemente esté a su nivel: https://www.decodedscience.org/atomic-interactions-wavefunctions-orthogonality-orbitals-hybridization-bonding/55459
(Aunque debo señalar que podrían estar usando “orbital molecular” de manera demasiado amplia, personalmente creo que los MO como sigma y pi deben distinguirse de los orbitales atómicos de s, p, d y f).
Ahora, si quieres saber por qué los orbitales s son esféricos y los orbitales p tienen forma de mancuerna, tendremos que decir la palabra W. 😉
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