Solución:
Consideremos los números racionales, con los que espero que esté familiarizado. Un número racional generalmente se representa como un par de números enteros, escritos en la forma $$ frac ab $$ donde $ b $ no es cero. Pero esta es solo una representación, y no es única, porque muchos de esos pares representan el mismo número racional. Por ejemplo, $ frac12, frac24, $ y $ frac {10} {20} $ representan todos el mismo número racional. La regla general es que $ frac ab $ y $ frac cd $ representan el mismo número racional si $ ad = bc $; puede verificar esta condición con los ejemplos que acabo de dar y ver que se cumple para esos ejemplos.
Ahora digamos que nos gustaría definir una función en números racionales. ¿Cómo podemos hacer eso? Todo con lo que tenemos que trabajar es la representación $ frac ab $, por lo que tenemos que definir $ f $ en términos de $ a $ y $ b $.
Considere la definición que dice $ f left ( frac ab right) = a + b $. Existe un grave problema con esta definición: es no una función bien definida de números racionales, porque dice inmediatamente que $ f left ( frac 12 right) = 3, $ que $ f left ( frac 24 right) = 6 $, y que $ f left ( frac {10} {20} right) = 30 $ Pero $ frac12, frac24, $ y $ frac {10} {20} $ son el mismo número racional, por lo que parece que dijimos que $ f $ tiene varios valores diferentes en este número racional. Esta no es una función bien definida porque no depende del argumento en sí, sino de cómo decidimos escribirlo.
En contraste, si definimos $ g left ( frac ab right) $ como $$ {a + gcd (a, b) over b + gcd (a, b)}, $$ encontramos que $ g left ( frac 12 right) = frac23, g left ( frac 24 right) = frac46 = frac23, $ y $ g left ( frac {10} {20} right) = frac {20} {30} = frac23 $, y de hecho, se puede demostrar que para cualquier $ a $ y $ b $ con $ frac ab = frac 12 $, siempre tenemos $ g left ( frac ab right) = frac23 $. Y también podemos mostrar que $ g left ( frac ab right) $ depende solo del valor racional de $ frac ab $, no de los $ a $ y $ b $ particulares que se eligen para representarlo. Esta es una función bien definida de números racionales.
El problema aquí es que no tenemos una definición directa de números racionales; en su lugar, los definimos como clases de pares de enteros $ a $ y $ b $. Si queremos definir una función de un número racional, en términos del par de enteros que lo representa, nuestra definición debe dar el mismo valor para cualquier par equivalente de enteros $ a $ y $ b $ —para cualquier par en el mismo clase de parejas. De lo contrario, puede ser una función perfectamente buena de pares de números enteros, pero es no una función de números racionales.
El mismo problema surge siempre que definimos algo en términos de clases de equivalencia. Su pregunta está etiquetada como álgebra abstracta, así que le daré el ejemplo más importante del álgebra abstracta. Si $ langle G, ast rangle $ es un grupo y $ H $ un subgrupo de $ G $, podemos construir las clases $ gH $ de las clases laterales izquierdas de $ H $. Entonces nos gustaría definir una operación $ h (aH, bH) $ en estas clases laterales; típicamente que $ h (aH, bH) = (a ast b) H $.
Pero observe que esto depende de la elección de los representantes $ a $ y $ b $ de las clases laterales $ aH $ y $ bH $. Porque podríamos tener $ aH = a’H $ y $ bH = b’H $ incluso cuando $ a ne a ‘$ y $ b ne b’ $. En tal caso, será mejor que tengamos $ (a ast b) H = (a ‘ ast b’) H $, o de lo contrario nuestra definición de $ h (aH, bH) $ no tendrá sentido, en el De la misma manera que $ f $ no tiene sentido: nos da más de un valor posible para una elección particular de argumentos.
Resulta que tales definiciones tienen sentido exactamente cuando $ H $ es un normal subgrupo de $ G $, y esta es la razón de la importancia de los subgrupos normales.
Una función $ f: A a B $ es, por definición (ordinaria), una relación $ f subseteq A times B $ con dos propiedades:
- Para todo $ a en A $, existe un $ b en B $ tal que $ f (a) = b $
- Para todo $ a, a ‘ en A $, si $ a = a’ $, entonces $ f (a) = f (a ‘) $.
El segundo axioma es lo que hace que una función esté “bien definida”. No se necesitan pruebas para demostrar que “las funciones están bien definidas” (¡están bien definidas por definición!) PERO muy a menudo tenemos una regla que inventamos para hacer una relación, y necesitamos probar “esta relación tiene propiedades 1 y 2, por lo que es una función bien definida “.
Al definir una función en el conjunto de clases de equivalencia $ E $ a partir de una relación de equivalencia en un conjunto $ X $, es natural definir funciones solo en términos de elementos de $ X $ y luego preguntar si todavía son funciones en $ E PS Sin embargo, esto no es automático, y mi ejemplo favorito que muestra por qué no es automático ya lo ha dado MJD anteriormente.
En pocas palabras, uno no puede simplemente asumir que cada relación que se nos ocurre en términos de $ X $ hace una función en clases de equivalencia de una equivalencia en $ X $.
Dada una relación de equivalencia en un conjunto $ A $ y función $ f: A rightarrow B $, decir que $ f $ está bien definido, significa que $ f ^ { sim}: A / sim rightarrow B $, $ f ^ { sim} ([x]) = f (x) $, define una función. Esto sucede si, $ x sim y $ implican $ f (x) = f (y) $ ($ f $ pasan al cociente).
Considere esta situación: Sea $ f: A rightarrow B $, donde $ A = {1,2,3,4 } $ y $ B = {1,2 } $, con $ f (1) = 2 $, $ f (2) = 1 $, $ f (3) = 1 $, $ f (4) = 1 $. Ahora, considere la partición de $ A $, dada por: $ A_ {1} = {1,2 } $, $ A_ {2} = {3,4 } $. Defina una relación de equivalencia como: $ x sim y $ si si pertenecen al mismo $ A_ {i} $, con $ i = 1,2 $. Considere el conjunto de cocientes $ A / sim $; ahora, en esta situación, podemos decir que $ f $ no está bien definido (en el conjunto de cocientes), porque $ f (1) neq f (2) $, entonces poniendo $ f ^ { sim} ([x]) = f (x) $ no define una función. De lo contrario, si considero la partición $ A_ {1} = {1 } $, $ A_ {2} = {2,3,4 } $, ellos ponen $ f ^ { sim} ([x]) = f (x) $ define una función.
¡Espero que quede claro!