Nuestros programadores estrellas han agotado sus provisiones de café, por su búsqueda a tiempo completo por la resolución, hasta que Diana encontró la solución en GitLab y en este momento la comparte con nosotros.
Solución:
Significa que son exactamente iguales excepto por los nombres de los elementos y el nombre de la operación binaria. Un isomorfismo entre grupos es una función que cambia el nombre de todos los elementos. (Por lo tanto, es biyectiva… cada elemento en el primer grupo se renombra para ser exactamente un elemento en el segundo grupo).
La razón por la que nos importa es que si solo le preocupa la estructura del grupo, entonces los nombres de los elementos o el símbolo que usa para la operación binaria no son tan importantes. Por lo tanto, si sabe que dos grupos son isomorfos, todo sobre ellos, en un sentido teórico de grupo, es lo mismo. Esto es bueno ya que si puede mostrar que un grupo que encuentra es isomorfo a un grupo que ya conoce, entonces obtiene cualquier propiedad teórica de grupo de su nuevo grupo de forma gratuita.
En términos generales, significa que no puedes diferenciarlos. Son lo mismo excepto que los elementos tienen nombres diferentes. Por ejemplo, el grupo $Z_2 = ,1$ con la regla obvia para la multiplicación es isomorfo al grupo par, impar con la regla habitual para la suma.
La confusión de @Dorabell (ver su comentario a continuación) fue mi culpa por llamar a la operación en $ ,1$ “multiplicación”. “Modificación adicional $ 2 $” hubiera sido mejor. Pero su ejemplo es instructivo de otra manera. El conjunto $ 1,-1$ con la obvia multiplicación también es isomorfo. Eso es interesante porque el homomorfismo biyectivo a $ ,1$ mapea $1$ a $0$ y $-1$ a $1$. No puedes saber qué significa “$1$” sin el contexto.
Cuando decimos que dos grupos son isomorfos, estamos diciendo que tienen la misma estructura e invariantes que los grupos. Un isomorfismo entre dos grupos hace más que emparejar elementos: empareja subgrupos, subgrupos normales, subgrupos característicos, clases de conjugación, subgrupos $p$, grupos Frattini, …
En otras palabras, dos grupos isomorfos pueden considerarse como el mismo objeto en la categoría de todos los grupos. No sé si responde a tu pregunta.
Al final de todo puedes encontrar las reseñas de otros gestores de proyectos, tú asimismo eres capaz insertar el tuyo si lo deseas.