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Solución:
Podemos pensar en $ nabla $ como un operador (operador del) en el siguiente sentido.
Toma una función $f$ y la convierte en un vector $nabla f$.
$nabla f= leftlangle frac parcial fparcial x,frac parcial fparcial y, frac parcial fparcial z right Rangle $ se llama el vector gradiente.
El vector de gradiente apunta a la dirección en la que su función aumenta más rápidamente.
Por ejemplo si $$ f(x,y,z)= x+3y^2 -10z$$ Entonces $$ nabla f (x,y,z)= langle 1,6y,-10rangle $$
y si hay un punto dado, digamos $(1,3,5)$, podemos evaluar $ nabla f (1,3,5)= langle 1,18,-10rangle.$
Este vector apunta a la dirección de máximo incremento de nuestra función en $(1,3,5).$
Nabla es un vector cuyos componentes son operadores. En el caso tridimensional que cita, $nabla=(partial_x,partial_y,partial_z)$. No es un vector en el sentido habitual (de vectores en $mathbb R^3$), pero es muy conveniente abuso de notación.
El ejemplo dado en la pregunta da una manera conveniente de escribir el gradiente de una función $f:mathbb R^3tomathbb R$ como $$ nabla f(x,y,z) = (partial_xf(x ,y,z),parcial_yf(x,y,z),parcial_zf(x,y,z)). $$ Resulta que este tipo de derivado es útil.
Si tiene una función $g:mathbb R^3tomathbb R^3$, necesitará dos derivadas típicas. Uno de ellos es la divergencia, que es la cantidad escalar $partial_xg_x(x,y,z)+partial_yg(x,y,z)+partial_zg(x,y,z))$. Es conveniente escribir esto como $$ nablacdot g(x,y,z), $$ ya que la fórmula sí parece un producto interno del vector $g=(g_x,g_y,g_z)$ y nuestro $nabla$.
El otro es el rotacional, que se expresa en términos de componentes como $$ (partial_yg_z-partial_zg_y,partial_zg_x-partial_xg_z,partial_xg_y-partial_yg_x). $$ (Omito los argumentos por brevedad). Este parece un producto cruzado, y de hecho es típico escribirlo como $nablatimes g(x,y,z)$.
El punto es que existen estas tres instancias básicas donde es conveniente pensar en $nabla$ como un vector de operadores, incluso si tales objetos no se estudian en general.
Como lo describiste, se usa como el gradiente de una función en cálculo multivariable.
Por sí mismo, el nabla se puede considerar como un vector de operadores de derivadas parciales y, cuando se aplica a una función multivariable, representa el vector de derivadas parciales de cada componente (producto escalar) y la dirección de mayor ascenso para alguna entrada:
$$nabla = beginbmatrixfracparcialparcial x \ fracparcialparcial y \ fracparcialparcial z \ vdotsendbmatriz$$
$$nabla f(x, y, z,dots) = beginbmatrixfracpartialpartial x,f(x, y, z,dots) \ frac parcialparcial y,f(x, y, z,puntos) \ fracparcialparcial z,f(x, y, z,puntos) \ vdotsendbmatriz$$
El nabla se puede aplicar a varias áreas diferentes en el cálculo multivariable, como la divergencia o el rizo. En todos estos casos, el nabla se puede tratar como un vector que se puede puntear o cruzar con otro vector, como una función multivariable. Dicho esto, es un operador.
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