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Solución:
No hay una definición formal. Esto depende del contexto.
Aquellos que dicen que “solución exacta” significa una “solución de forma cerrada” tienen que explicar qué es una “forma cerrada”. Una serie cuyos coeficientes son números racionales y existe un algoritmo para calcular estos coeficientes, ¿es esta una forma cerrada o no? Algunos de ellos son. Todos dirían que la solución
$y(x)=e^x$ de una ecuación diferencial es una “forma cerrada”. Entonces todas las demás funciones especiales deben ser admitidas (como Bessel, funciones elípticas o funciones de cilindro elíptico). Ahora, ¿cuál es una definición precisa de “funciones especiales”? El significado de este término cambia con el tiempo. La mayoría de la gente está de acuerdo en que las funciones consideradas en el segundo volumen de Whittaker Watson merecen este nombre. ¿Qué pasa con las soluciones de las ecuaciones de Heun (esta ecuación solo se menciona una vez en WW, en un ejercicio)? ¿Qué pasa con las funciones de Painleve (no mencionadas en WW)? ¿Qué pasa con esta serie con coeficientes racionales:
$$f_q(z)=sum_m=0^inftyfracq^-n^2z^nn!, quad zin C, quad |q| leq 1.$$
Si obtiene una solución de un problema de esta forma, ¿se considerará una solución de forma cerrada? ¿Solución exacta?
En el siglo XIX, propusieron esta definición: una solución explícita es una serie cuyos coeficientes se pueden calcular (por ejemplo, mediante una fórmula recurrente finita) y que converge para todos los valores de la variable independiente relevante para la pregunta dada. Luego, poco después, Sundman resolvió el famoso problema de los tres cuerpos de esta forma. Aún así, la mayoría de las personas hoy en día no llamarán a la solución de Sundman una forma cerrada o una solución explícita.
A veces significan “una función elemental” como una forma cerrada, aunque no hay acuerdo sobre qué es exactamente una “función elemental”. ¿Qué pasa con una integral abeliana, es una solución de forma cerrada o no? Para la mayoría de los físicos, lo es. Por otro lado, el estudio del comportamiento cualitativo de las integrales abelianas es un área de investigación candente en la actualidad.
Árbitro. Así es como se formuló el problema del premio para el problema de muchos cuerpos:
Para un sistema arbitrario de muchos puntos de masa que se atraen entre sí de acuerdo con la ley de Newton, suponiendo que dos puntos nunca colisionen, encuentre una expansión en serie de las coordenadas de cada punto en funciones de tiempo conocidas que convergen uniformemente para cualquier período de tiempo.
El premio fue otorgado a Poincaré por su trabajo innovador, aunque no resolvió el problema, como se dijo. Esto se logró, para 3 cuerpos, unos años más tarde por Sundman. Una exposición moderna de la solución de Sundman se puede encontrar en el libro de Siegel, Mecánica celestial. Ver también esta respuesta de MO. El trabajo de Poincaré inició una nueva área de investigación que florece hoy en día, mientras que el trabajo de Sundman está casi olvidado.
Depende del contexto. En la literatura de física, hay un término “exactamente solucionable” que significa que se puede escribir una forma cerrada para la solución; nunca se usa para indicar que la solución existe en un sentido abstracto. Por ejemplo, consulte el libro clásico de Baxter “Modelos exactamente solucionables en mecánica estadística”. Entonces, en este contexto, “solución exacta” significa “solución de forma cerrada”.
Edición inspirada en la respuesta de Alexandre Eremenko: más precisamente, para un físico, la “solución exacta” debería ser lo suficientemente explícita como para responder a todas las preguntas que le preocupan. En la práctica, estas preguntas a menudo se reducen a las asintóticas en puntos singulares y/o infinito. Digamos que las soluciones exactas de Baxter son principalmente interesantes porque proporcionan los exponentes críticos. En ese sentido, las funciones de Painleve deberían contar como forma cerrada, ya que para ellas se conocen los desarrollos asintóticos y las fórmulas de conexión, y la solución de Sundman no.
En otro contexto, puede hablar de solución aproximada o perturbativa, y entonces creo que está bien contrastarla con la “solución exacta”, incluso cuando no se conoce la forma cerrada de esta última.
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