Es fundamental interpretar el código correctamente previamente a usarlo a tu proyecto y si tdeseas aportar algo puedes comentarlo.
Solución:
Preparé lo siguiente como respuesta a una pregunta que se cerró justo cuando estaba dando los toques finales a mi trabajo. Lo publiqué como una pregunta diferente (autorepuesta), pero siguiendo las sugerencias de Srivatsan Narayanan y Mike Spivey, lo estoy poniendo aquí y borrando mi supuesta pregunta.
Si $ X $ y $ Y $ son variables aleatorias gaussianas estándar independientes, ¿cuál es la función de distribución acumulativa de $ alpha X + beta Y $?
Sea $ Z = alpha X + beta Y $. Suponemos sin pérdida de generalidad que $ alpha $ y $ beta $ son números reales positivos ya que si, digamos, $ alpha <0 $, entonces podemos reemplazar $ X $ por $ -X $ y $ alpha $ por $ vert alpha vert $. Entonces, la función de distribución de probabilidad acumulada de $ Z $ es $$ F_Z (z) = P Z leq z = P alpha X + beta Y leq z = int int_ alpha x + beta y leq z phi (x) phi (y) dx dy $$ donde $ phi ( cdot) $ es la unidad de la función de densidad gaussiana. Pero, dado que el integrando $ (2 pi) ^ - 1 exp (- (x ^ 2 + y ^ 2) / 2) $ tiene simetría circular, el valor de la integral depende solo de la distancia del origen de la línea $ alpha x + beta y = z $. De hecho, mediante una rotación de coordenadas, podemos escribir la integral como $$ F_Z (z) = int_ x = - infty ^ d int_ y = - infty ^ infty phi (x ) phi (y) dx dy = Phi (d) $$ donde $ Phi ( cdot) $ es la función de distribución acumulativa gaussiana estándar. Pero, $$ d = frac z sqrt alpha ^ 2 + beta ^ 2 $$ y, por lo tanto, la función de distribución acumulativa de $ Z $ es la de una variable aleatoria gaussiana de media cero con varianza $ alpha ^ 2 + beta ^ 2 $.
Publiqué lo siguiente en respuesta a una pregunta que se cerró como un duplicado de esta:
A partir de su comentario, parece que el significado de su pregunta es diferente de lo que pensé al principio. Mi primera respuesta asumió que sabías que la suma de normales independientes es en sí misma normal.
Tienes $$ exp left (- frac12 left ( frac x alpha right) ^ 2 right) exp left (- frac12 left ( frac zx beta right) ^ 2 right) = exp left (- frac12 left ( frac beta ^ 2x ^ 2 + alpha ^ 2 (zx) ^ 2 alpha ^ 2 beta ^ 2 derecha) derecha). $$ Entonces el numerador es $$ begin align & ( alpha ^ 2 + beta ^ 2) x ^ 2 – 2 alpha ^ 2 xz + alpha ^ 2 z ^ 2 \ \ = & ( alpha ^ 2 + beta ^ 2) left (x ^ 2 – 2 frac alpha ^ 2 alpha ^ 2 + beta ^ 2 xz right) + alpha ^ 2 z ^ 2 \ \ = & ( alpha ^ 2 + beta ^ 2) left (x ^ 2 – 2 frac alpha ^ 2 alpha ^ 2 + beta ^ 2 xz + frac alpha ^ 4 ( alpha ^ 2 + beta ^ 2) ^ 2 z ^ 2 right) + alpha ^ 2 z ^ 2 – frac alpha ^ 4 alpha ^ 2 + beta ^ 2 z ^ 2 \ \ = & ( alpha ^ 2 + beta ^ 2) left (x – frac alpha ^ 2 alpha ^ 2 + beta ^ 2 z right) ^ 2 + alpha ^ 2 z ^ 2 – frac alpha ^ 4 alpha ^ 2 + beta ^ 2 z ^ 2, end align $$ y luego recuerda que todavía tienes $ -1 / 2 $ y $ alpha ^ 2 beta ^ 2 $ en el denominador, todo dentro de la función “exp”.
(Lo que se hizo arriba es completando el cuadrado.)
El factor de $ exp left ( text una función de z right) $ no depende de $ x $ y, por tanto, es una “constante” que se puede extraer de la integral.
La integral restante no depende de “$ z $” por una razón que veremos a continuación y, por lo tanto, se convierte en parte de la constante de normalización.
Si $ f $ es cualquier función de densidad de probabilidad, entonces $$ int _ – infty ^ infty f (x – text algo) ; dx $$ no depende de “algo”, porque uno puede escribir $ u = x- text algo $ y luego $ du = dx $, y los límites de integración siguen siendo $ – infty $ y $ + infty $, por lo que la integral es igual a $ 1 $.
Ahora mira $$ alpha ^ 2z ^ 2 – frac alpha ^ 4 alpha ^ 2 + beta ^ 2 z ^ 2 = frac z ^ 2 frac 1 beta ^ 2 + frac 1 alpha ^ 2. $$
Esto debía dividirse entre $ alpha ^ 2 beta ^ 2 $, lo que arrojaba $$ frac z ^ 2 alpha ^ 2 + beta ^ 2 = left ( frac z sqrt alpha ^ 2 + beta ^ 2 right) ^ 2. $$ Entonces la densidad es $$ ( text constante) cdot exp left (- frac12 left ( frac z sqrt alpha ^ 2 + beta ^ 2 right ) ^ 2 derecha). $$ Donde pertenece la desviación estándar ahora tenemos $ sqrt alpha ^ 2 + beta ^ 2 $.
No sé cómo me perdí ese, de hecho:
http://en.wikipedia.org/wiki/Sum_of_normally_distributed_random_variables
¡Gracias Kaestur Hakarl!
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