Nuestro team especializado luego de algunos días de trabajo y recopilar de información, obtuvimos la respuesta, queremos que te sea de utilidad para tu plan.
Solución:
Sean $r=log(x), s=log(y)$ y $t=log(xy)$.
Entonces $x=10^r,y=10^s$ y $xy=10^t=10^r10^s=10^r+s$.
Por lo tanto, $t=r+s$, es decir, $log(xy)=log(x)+log(y)$.
Usando una definición diferente del logaritmo, $ln(x) := int_1^x fracdtt$, podemos probar esto sin una definición de exponenciación.
$$ ln(ab) = int_1^abfracdtt = int_1^afracdtt + int_a^ab fracdtt = ln(a) + int_a^ab fracdtt $$ A continuación, podemos hacer una sustitución de u con $u= frac ta$, lo que significa que los límites de la integral restante pueden ser re -expresado como $1$ y $b$. Además, tenga en cuenta que $a du = dt$ y $au = t$, lo que significa que encontramos que $ int_a^ab fracdtt = int_1^b frac{a,du au = int_1^b fracduu = ln(b)$.
Ahora encontramos que $ln(ab) = ln(a) + ln(b)$, usando solo las propiedades básicas de las integrales.
Teniendo en cuenta que $log(x)$ es la función inversa de $e^x$ tienes
$$e^log(xy) = xy = e^log(x) cdot e^log(y) = e^log(x)+log(y) $$
Pero como la función exponencial es inyectiva, obtienes $log(xy) = log(x)+log(y)$
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