Nuestro equipo de trabajo ha pasado horas buscando para dar espuestas a tus preguntas, te regalamos la solución por eso esperamos que sea de mucha ayuda.
Solución:
Probablemente empezaría por irrumpir en casos basados en $ A $ y $ C $.
Condicionado a $ A $ y $ C $ tener diferentes signos, siempre hay raíces reales (porque $ 4AC leq 0 $, así que eso $ B ^ 2-4AC geq0 $). La probabilidad de que $ A $ y $ C $ tener diferentes signos es $ frac 1 2 $.
Condicionado a $ A geq0 $ y $ C geq 0 $, vuelve al problema resuelto en el enlace de arriba. ¿Por qué? Porque $ B ^ 2 $ tiene la misma distribución si tienes $ B $ distribuido uniformemente en $ (0,1) $ o en $ (- 1,1) $. En el enlace, calcularon esta probabilidad como $ frac 5 + 3 log4 36 approx0.2544134 $. El evento condicionante aquí tiene probabilidad $ frac 1 4 $.
Finalmente, si condicionamos $ A <0 $ y $ C <0 $, en realidad terminamos con la misma probabilidad, ya que $ 4AC $ tiene la misma distribución en este caso que en el caso donde $ A geq0 $ y $ C geq 0 $. Entonces, esta es una $ frac 5 + 3 log 4 36 approx0.2544134 $ probabilidad condicional, y el evento condicionante tiene probabilidad $ frac 1 4 $.
Entonces, en total, la probabilidad debería ser
$$ begin align * P (B ^ 2-4AC geq0) & = 1 cdot frac 1 2 + frac 1 4 cdot frac 5 + 3 log4 36 + frac 1 4 cdot frac 5 + 3 log 4 36 \ & = frac 1 2 + frac 5 + 3 log4 72 \ & approx0.6272 … end align * $$
$ newcommand bbx[1], bbox[15px,border:1px groove navy] displaystyle # 1 , newcommand braces[1] left lbrace , # 1 , right rbrace newcommand bracks[1] left lbrack , # 1 , right rbrack newcommand dd mathrm d newcommand ds[1] displaystyle # 1 newcommand expo[1], mathrm e ^ # 1 , newcommand ic mathrm i newcommand mc[1] mathcal # 1 newcommand mrm[1] mathrm # 1 newcommand pars[1] left (, # 1 , right) newcommand partiald[3][] frac parcial ^ # 1 # 2 parcial # 3 ^ # 1 newcommand root[2][], sqrt[#1], # 2 , , newcommand totald[3][] frac mathrm d ^ # 1 # 2 mathrm d # 3 ^ # 1 newcommand verts[1] left vert , # 1 , right vert $
Lo sucesivo, $ ds bracks P $ es un soporte Iverson. A saber,
$ ds bracks P = color rojo 1 $ cuando sea $ ds P $ es $ ds { tt truePS y $ ds color red 0 $$ ds tt de lo contrario $. Son muy convenientes siempre que tengamos que manipular restricciones.
begin align & bbox[5px,#ffd] int _ – 1 ^ 1 1 over 2 int _ – 1 ^ 1 1 over 2 int _ – 1 ^ 1 1 over 2 corchetes b ^ 2 – 4ac> 0 dd c , dd a , dd b \[5mm] = & 1 over 4 int_ 0 ^ 1 int _ – 1 ^ 1 int _ – 1 ^ 1 bracks b ^ 2 – 4ac> 0 dd c , dd a , dd b \[5mm] = & 1 over 4 int_ 0 ^ 1 int _ – 1 ^ 1 int_ 0 ^ 1 braces bracks b ^ 2 – 4ac > 0 + bracks b ^ 2 + 4ac> 0 dd c , dd a , dd b \[5mm] = & 1 over 4 int_ 0 ^ 1 int_ 0 ^ 1 int_ 0 ^ 1 left bracks b ^ 2 – 4ac > 0 + bracks b ^ 2 + 4ac> 0 right. \[2mm] & phantom 1 over 4 int_ 0 ^ 1 int _ – 1 ^ 1 int_ 0 ^ 1 left. + bracks b ^ 2 + 4ac> 0 + bracks b ^ 2 – 4ac> 0 right dd c , dd a , dd b \[5mm] = & 1 over 2 + 1 over 2 int_ 0 ^ 1 int_ 0 ^ 1 int_ 0 ^ 1 bracks b ^ 2 – 4ac> 0 dd c , dd a , dd b \[5mm] = & 1 over 2 + 1 over 2 int_ 0 ^ 1 int_ 0 ^ 1 1 over a int_ 0 ^ a corchetes b ^ 2 – 4c> 0 dd c , dd a , dd b \[5mm] = & 1 over 2 + 1 over 2 int_ 0 ^ 1 int_ 0 ^ 1 bracks b ^ 2 – 4c> 0 int_ c ^ 1 1 over a , dd a , dd c , dd b \[5mm] = & 1 over 2 – 1 over 2 int_ 0 ^ 1 int_ 0 ^ 1 bracks c
Sabemos por la fórmula cuadrática que el polinomio $ Ax ^ 2 + Bx + C $ tiene raíces reales si $ B ^ 2 – 4AC geq 0 $. Podemos pensar en este problema en términos de volúmenes. Para hacerlo, es más fácil si cambiamos el nombre de los coeficientes como $ x equiv A $, $ y equiv C $, y $ z equiv B $. Por lo tanto, para tener raíces reales, necesitamos que $ z ^ 2 geq 4xy $ por $ x, y, z in (-1,1) $. La probabilidad que buscamos es la razón entre el volumen de la región para la cual esta desigualdad es true y el volumen del cubo contenedor, que es 8. Comience observando que si $ x $ y $ y $ tienen signos opuestos, entonces esta desigualdad se satisface trivialmente. El volumen de la región para la que tienen signos opuestos 4. Ahora considere el caso donde $ x $ y $ y $ tienen los mismos signos. En este caso, queremos calcular el volumen sobre la superficie. $ z ^ 2 = 4xy $ y debajo del cubo contenedor. Hay cuatro casos para considerar:
- $ -1
y $ frac 1 4x leq y leq 0 $. - $ – frac 1 4 leq x leq 0 $ y $ -1
. - $ 0 leq x leq frac 1 4 $ y $ 0 leq y <1 $.
- $ frac 1 4 leq x <1 $ y $ 0 leq y leq frac 1 4x $.
Por simetría podemos considerar los casos 1 y 2 y luego multiplicar ese volumen por 2. En cada caso tenemos que calcular la integral:
begin align * int_a ^ b int_c ^ d 2 – 4 sqrt xy , dy , dx, end align *
donde los límites de integración se definen anteriormente. Al evaluar los casos 1 y 2 encontramos que el volumen es $ 5/18 + (1/6) ln (4) $. Por tanto, el volumen total que satisface la desigualdad es
begin align * 4 + 2 left ( frac 5 18 + frac 1 6 ln (4) right) = frac 41 9 + frac 1 3 ln (4) end align *
lo que conduce a una probabilidad de
begin align * frac 1 8 left ( frac 41 9 + frac 1 3 ln (4) right) approx 0.62721 end align *