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Solución:
Bueno, un círculo puede ser descrito por una función, solo que no en el sentido con el que puedes estar familiarizado. Si está viendo una función que describe un conjunto de puntos en el espacio cartesiano asignando cada coordenada $x$ a una coordenada $y$, entonces una función no puede describir un círculo porque falla lo que se conoce en la escuela secundaria. como el prueba de línea vertical.
Una función, por definición, tiene una salida única para cada entrada. Sin embargo, para casi todos los puntos de un círculo, hay otro punto con la misma coordenada $x$. Por lo tanto, necesitaría que su función proporcione dos coordenadas $y$ diferentes para ciertas entradas, lo cual no está permitido.
Sin embargo, no existe una regla que indique que la entrada de una función debe ser una coordenada $x$ o que la salida debe ser una coordenada $y$, por lo que podemos definir otras funciones que describen un círculo. En términos más formales, el dominio y el codominio de una función no tienen que ser $BbbR$. Por ejemplo, podemos tener una función que genere un par ordenado (es decir, el codominio de $BbbRtimesBbbR$). Luego, $$f(t)=(sin t,cos t)$$ genera el círculo unitario cuando $0le t<2pi$. También podríamos describir los puntos en el espacio de otra manera, usando coordenadas polares. Aquí usamos el ángulo en sentido antihorario desde el eje $x$ positivo, $theta$, y la distancia desde el origen, $r$, para identificar un punto. Usando este sistema, podemos describir fácilmente el círculo unitario como $(theta,f(theta))$, donde $f(theta)=1$ y $0letheta<2pi$.
Dices que “las funciones parecen ecuaciones glorificadas”. Definitivamente hay algo de verdad en eso. Aquí hay una ecuación:
$$y = x^2$$
Aquí hay otra ecuación:
$$f(x) = x^2$$
Ambas son ecuaciones, y las dos ecuaciones hacen cosas muy similares. Las dos ecuaciones definen funciones. Pero lo hacen un poco diferente.
La primera ecuación no da nombre a la función que define; simplemente define $y$ como “una función de” $x$, lo que quiere decir que te dice qué es $y$ una vez que sabes qué es $x$. la segunda ecuacion lo hace dar un nombre a la función que define; la función se llama $f$. (La función no es $f(x)$; la función es solo $f$).
Ahora, aquí hay otra ecuación:
$$x^2 + y^2 = 1$$
A diferencia de $y = x^2$, esta ecuación no define una función. ¿Por qué no? Porque no te dice qué es $y$ una vez que sabes qué es $x$. Esta ecuación define un relaciónlo que quiere decir que le dice cuáles pueden ser los valores de $x$ y $y$, pero el valor de $y$ no está completamente determinado por el valor de $x$.
Resulta que una función es solo un tipo especial de relación. Una función es cualquier relación que tiene la propiedad de que una vez que sabes cuál es el primer valor, sabes cuál es el segundo valor. Un círculo puede ser descrito por una relación (que es lo que acabamos de hacer: $x^2 + y^2 = 1$ es una ecuación que describe una relación que a su vez describe un círculo), pero esta relación no es una función, porque el valor de $y$ no está completamente determinado por el valor de $x$.
Ahora, ¿podríamos usar algo similar a la notación de funciones para definir un círculo? Por supuesto. lo que nosotros hipocresía hacer es algo como esto:
$$x^2 + f(x)^2 = 1$$
Como estamos usando la notación de función aquí, parece que todavía estamos tratando de definir una función. Pero lo que podemos hacer es darle un nombre a nuestra relación. Llamémoslo $diamante$. Ahora podemos decir esto:
$$x diamond y text siempre que x^2 + y^2 = 1$$
Ahora, al igual que $f$ es el nombre de una función que define una parábola muy arriba, $diamante$ es el nombre de una relación que define un círculo.
Esto es una especie de artefacto de la forma en que dibujamos funciones. Colocamos pares (entrada, salida) en el plano a través del proceso arbitrario
- Comience en el centro del papel.
- Viaje [input] distancia a la derecha
- Viaje [output] distancia arriba
- Coloque un punto en el papel.
- Repita para todas las entradas posibles
Puede ver que este proceso nunca puede dibujar un círculo porque en el paso 3, tenemos que subir o bajar dependiendo de si [output] es positivo o negativo. ¡Pero para un círculo tendríamos que hacer ambas cosas!
Imagina en cambio que hicimos esto en su lugar:
- Imagina una línea horizontal a través del centro del papel.
- Imagina un rayo con vértice en el centro del papel, formando un ángulo de [input] de la linea horizontal
- Viaje [output] distancia a lo largo del rayo
- Coloque un punto en el papel
- Repita para todas las entradas posibles
Entonces un círculo de radio $r$ sería muy fácilmente representado por la función $f(x) = r$. (Esto se conoce comúnmente como coordenadas polares)
Por último, la forma en que generalmente dibujamos ecuaciones es esta:
- Elige un punto en el papel
- Si la distancia horizontal y vertical del punto al centro del papel satisface la ecuación, dibuja un punto en el papel.
- Repita para todos los puntos en el papel
Puede ver que este método no tiene la misma restricción que el primer método y, por lo tanto, podría resultar la imagen de un círculo.
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