Es importante entender el código de forma correcta antes de usarlo a tu trabajo si ttienes algo que aportar puedes dejarlo en los comentarios.
Solución:
Sea $cos^n$ la composición en $n$ de la función coseno consigo misma, por ejemplo, $$ cos^3(theta) = cos(cos(cos(theta))). $$ Tenga en cuenta que esto no suele ser lo que significa esta notación, por ejemplo, en textos introductorios de cálculo. Sin embargo, es conveniente en el contexto actual.
Lo que está calculando (asumiendo que existe) es $$ lim_ntoinfty cos^n(theta). $$ Nuevamente, suponga que este límite existe y es igual a $L$. Es decir, supongamos que existe algún $LinmathbbR$ tal que $$ lim_ntoinfty cos^n(theta) = L. $$ Tomando el coseno de cada lado de esto, y usando la continuidad del coseno, obtenemos $$ cos(L) = cos( lim_ntoinfty cos^n(theta) ) = lim_n ainfty cos^n+1(theta) = L. $$ Por lo tanto, $L$, suponiendo que existe, es una solución a la ecuación $$ cos(x) – x = 0. $$ Esto confirma su sospecha de que el número que está obteniendo es una solución a esta ecuación (suponiendo que tal número exista).
En este punto, se necesitan métodos numéricos para sacar algo mejor de esta ecuación (pulsar un botón en la calculadora repetidamente es un método numérico de este tipo), pero puede probar que hay es una solución a través del teorema del valor intermedio: $cos(0) – 0 = 1 ge 0$ y $cos(pi) – pi = -pi < 0$, entonces hay una solución entre $0$ y $pi$.
Lo que queda es mostrar que este límite existe realmente. Tenga en cuenta que la función coseno es una contracción en el intervalo $[-1,1]ps Es decir, si $x,yin [-1,1]$, entonces hay una constante $|C| < 1$ tal que $|cos(x)-cos(y)| < C|xy|$. Hay buenos teoremas que nos dicen que debe haber un único punto fijo (específicamente, la teoría que eventualmente conduce a un teorema conocido alternativamente como el “Principio de mapeo de contracción” o el “Teorema del punto fijo de Banach”).
Tenga en cuenta que el coseno es una contracción en $[-1,1]$, y que $cos(mathbbR)$ (es decir, la imagen de $mathbbR$ bajo la función coseno, es decir, el rango de la función coseno) es ese intervalo. Por lo tanto, desde cualquier punto de partida, después de la primera iteración estamos en el régimen donde $cos$ es contractivo, por lo que eventualmente convergeremos a nuestro punto fijo, que fue “determinado” anteriormente (en la medida en que podamos describirlo ). Esto prácticamente dice todo lo que hay que saber sobre la función coseno en este contexto.
La función seno es similar: es contractiva en el mismo intervalo, pero es mucho más fácil encontrar el punto fijo: $$ sin(x) – x = 0 implica x = 0. $$
La función tangente no es tan agradable. En realidad, es una dilatación en el intervalo unitario simétrico, por lo tanto, no podemos aplicar el teorema del punto fijo de Banach como se indicó anteriormente. Puede haber un punto fijo, pero para llegar a él, tendremos que trabajar hacia atrás y considerar la aplicación iterativa de la función $arctan$.
Este tipo de objetos se estudian como “sistemas dinámicos”. En el lenguaje de los sistemas dinámicos, los puntos fijos de las funciones coseno y seno son atractivo, en que todo eventualmente “cae en” esos puntos. El punto fijo de la función tangente es repulsivo (o repelente), en el sentido de que las cosas se apartan de él.
Aquí hay una foto:
La línea azul es $y=cos x$, la línea verde es $y=x$. La línea discontinua roja muestra lo que sucede cuando aplica repetidamente el coseno en un valor inicial, en este caso cero. Puedes ver cómo converge a la intersección de las dos líneas, es decir, el punto donde $x=cos x$.
Generando la línea discontinua roja
En la imagen, comience desde el punto $(0,0)$ y siga la línea discontinua. Moverse verticalmente de $(x,y)$ a $(x,y’)$ corresponde a aplicar $y’getscos x$. Moverse horizontalmente de $(x,y)$ a $(x’,y)$ corresponde a aplicar $x’obtiene y$. A partir de $(x_0,y_0)$, los puntos siguen esta secuencia ($V$ y $H$ denotan movimiento vertical y horizontal respectivamente): beginalign (x_0,y_0) &oversetV to (x_0,cos x_0)\ &oversetHto (cos x_0,cos x_0)\ &oversetVto (cos x_0, cos( cos x_0))\ &oversetHto (cos(cos x_0),cos(cos x_0))\ &oversetVto (cos( cos x_0),cos(cos(cos x_0)))\ &oversetHto cdots endalign
En un intervalo lo suficientemente pequeño (digamos $[-pi/2 + varepsilon, pi/2 – varepsilon]$), $cos(x)$ es un mapeo de contracción, es decir, $$|cos(x) – cos(y)| le q |xy|$$ para algún $q < 1.$ (Esto se debe a que su derivada está acotada por $1$.) El teorema del punto fijo de Banach se aplica para demostrar que $cos(x) = x$ tiene un solución única, y para cualquier punto inicial $x$ en ese intervalo, la secuencia $(x_n)_n$ definida por $x_0 = x$ y $x_n+1 = cos(x_n)$ converge a esa solución.
El hecho de que $cos(x)$ sea periódico e incluso te permita extender este resultado a todos los $mathbbR.$ Es similar para $sin(x)$ (nota $sin(0) = 0$ es el único punto fijo). No funciona para $tan(x)$ porque $tan(x)$ no es una contracción.
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