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Solución:
La aceleración que causa su atracción gravitacional en la Tierra es minúscula, minúscula, minúscula porque la masa de la Tierra es enorme. Si su masa es, digamos, $ 70 ; mathrm kg $, entonces provocas una aceleración de $ a approx 1.1 times 10 ^ – 22 ; mathrm m / s ^ 2 $.
Una aceleración minúscula, minúscula, minúscula no significa necesariamente una velocidad minúscula, minúscula, minúscula, ya que, como mencionas en los comentarios, la velocidad se acumula. Verdadero. No necesariamente significa eso, pero en este caso lo hace. La velocidad ganada después de 1 año con esta aceleración es solo $ v aprox 3.6 × 10 ^ – 15 ; mathrm m / s $. Y después de una vida de 100 años, todavía está alrededor $ v approx 3.6 × 10 ^ – 13 ; mathrm m / s $.
Si todos los 7.600 millones de personas del planeta despegaran repentinamente de la Tierra y permanecieran suspendidos en el aire en el mismo lado del planeta durante 100 años, el planeta no alcanzaría más de $ v approx 2.8 times 10 ^ – 3 ; mathrm m / s $; eso es alrededor de 3 milímetros por segundo en este oscuro escenario de 100 años y miles de millones de masas de personas.
Ahora, con todo lo dicho, tenga en cuenta que tuve que asumir que todas esas personas no están simplemente paradas en el suelo, deben estar levitando por encima del suelo.
Porque, mientras levitan (es decir, durante la caída libre), solo ejercen la fuerza gravitacional $ F_g $:
$$ sum F = ma quad Leftrightarrow quad F_g = ma $$
y hay una aceleración neta de acuerdo con la segunda ley de Newton. Pero al estar de pie en el suelo, también ejercen una fuerza de empuje hacia abajo igual a su peso$ w $:
$$ sum F = ma quad Flecha izquierda quad F_g-w = ma $$
Ahora hay dos fuerzas en la Tierra que empujan en direcciones opuestas. Y, de hecho, el peso es exactamente igual a la fuerza gravitacional (porque esos dos son el par acción-reacción de la tercera ley de Newton), por lo que la fuerza de presión en la Tierra cancela la atracción gravitacional. Entonces la fórmula anterior da una aceleración cero. Las fuerzas se anulan y nada acelera más.
En general, cualquier sistema nunca puede acelerar puramente por sus propias fuerzas internas. Si consideramos la Tierra y las personas como un solo sistema, entonces sus fuerzas gravitacionales entre sí son internas. Cada parte del sistema puede moverse individualmente: la Tierra puede moverse hacia las personas y las personas en caída libre pueden moverse hacia la Tierra. Pero el sistema en su conjunto, definido por el centro de masa del sistema – no se moverá a ninguna parte.
Por lo tanto, la Tierra puede moverse un poquito, un poquito, un poquito hacia ti mientras tú te mueves una distancia mucho mayor hacia la Tierra durante tu caída libre, por lo que el centro de masa combinado aún está estacionario. Pero cuando está parado en el suelo, nada puede moverse porque eso requeriría que usted atraviese el suelo y se mueva hacia el interior de la Tierra. Si la Tierra se estuviera moviendo pero tú no, entonces el centro de masa se estaría moviendo (acelerando) y eso es simplemente imposible. El sistema estaría ganando energía cinética sin ningún aporte de energía externa; crear energía libre de la nada simplemente no es posible. Entonces esto nunca sucede.
Respuesta corta, lo hace. Es demasiado pequeño para que lo notes. Entonces, ¿por qué no se nota?
La tierra no moverse notablemente hacia usted a pesar de su atracción gravitacional porque está descansando sobre él, de la misma manera que no se mueve hacia el centro de la tierra si tiene una base estable en su superficie.
Si no está parado sobre él (por ejemplo, paracaidismo o en órbita), entonces la tierra comienza a moverse hacia usted (o, si salta, se mueve en la dirección opuesta a su cuerpo). Pero dado que la aceleración de la tierra impartida por usted es muy pequeña, aunque es calculable, es básicamente inconmensurable. Como calculó @Steeven, una persona de 70 kg impartiría una aceleración de $ a approx 1.1 times 10 ^ – 22 ; mathrm m / s ^ 2 $ que no se nota con nuestra percepción humana.
Además de los muy pequeños niveles de aceleración, una razón más por la que no se nota el movimiento de la Tierra es que suceden muchas, muchas cosas en la Tierra. Es optimista / poco realista modelar la tierra como un cuerpo perfectamente rígido, pero hagámoslo por el bien de este ejemplo: hay tantas cosas sucediendo alrededor de la tierra, cada una impartiendo una pequeña aceleración en todo el cuerpo (grúas levantando cosas, minas siendo excavado con explosivos, deslizamientos de tierra y avalanchas, terremotos, etc.) que incluso si pudiéramos medir la pequeña aceleración que ejerces en la tierra sería casi imposible aislar el impacto que usted tener de todo el ruido creado por todo lo demas.
De la tercera ley de Newton, sabemos una cosa: cada acción tiene una reacción igual y opuesta. Esto significa que la fuerza que actuamos en la tierra es igual a la fuerza que la tierra actúa sobre nosotros.
Esto significa
$$ f = ma rlap ~~~~ left ( text por persona right) $$
La masa promedio de una persona es $ 70 , mathrm kg $ y la aceleración debida a la gravedad es casi $ 10 , mathrm m / mathrm s ^ 2. $
Entonces la fuerza que aplicamos en la tierra es casi $ 700 , mathrm N. $
Ahora
$$ F = MA rlap ~~~~ left ( text por la Tierra right) $$
La masa aproximada de la Tierra es $ 6 veces 10 ^ 24 , mathrm kg, $ pero la fuerza permanece $ 700 , mathrm N. $
Ahora $ A = F / M $$$ A = frac 700 6 times 10 ^ 24 ~~ Flecha derecha ~~ sim 116 times 10 ^ – 24 , frac mathrm m mathrm s ^ 2 ,. $$
Esa aceleración aplicada por una persona es tan minúscula que no necesita ser considerada.
La aceleración de la Tierra está en potencias negativas de $ 24. $ Por lo tanto, necesitamos más de miles de millones de personas para acelerar la Tierra hacia arriba.
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