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Solución:
Que no es true En general, que la energía de una onda siempre es proporcional al cuadrado de su amplitud, pero hay buenas razones para esperar que esto sea así. true en la mayoría de los casos, en el límite de pequeñas amplitudes. Esto se sigue simplemente de expandir la energía en una serie de Taylor, $E=a_0+a_1 A+a_2 A^2+ldots$ Podemos tomar el término $a_0$ como cero, ya que solo representaría algo de energía potencial ya presente en el medio cuando no había excitación de onda. El término $a_1$ tiene que desaparecer, porque de lo contrario dominaría la suma para valores suficientemente pequeños de $A$, y podrías tener ondas con energía negativa para un signo de $A$ elegido apropiadamente. Eso significa que el primer término que no desaparece debe ser $A^2$. Dado que no esperamos que la energía de la onda dependa de la fase, esperamos que solo ocurran los términos pares, $E=a_2A^2+a_4A^4+ldots$ Entonces, solo en el límite de amplitudes pequeñas que esperamos $Epropto A^2$.
El otro problema a considerar es que teníamos que asumir que $E$ era una función suficientemente suave de $A$ para permitir que se calculara usando una serie de Taylor. esto no tiene que ser true en general. Como un ejemplo fácil que involucra una partícula oscilante, en lugar de una onda, considere una partícula puntual en un campo gravitacional, rebotando hacia arriba y hacia abajo elásticamente en un piso inflexible. Si definimos la amplitud como la altura del rebote, entonces tenemos $E propto |A|$. Pero una bola realista se deforma, por lo que el límite de pequeña amplitud consiste en que la bola vibre mientras permanece en contacto con el suelo, y recuperamos $Epropto A^2$.
También podría inventar ejemplos donde $a_2$ se anula y el primer coeficiente que no se anula es $a_4$.
Es solo una onda sinusoidal. Si la frecuencia es constante, entonces la velocidad en el cruce por cero es proporcional a la amplitud y la energía es proporcional a la velocidad al cuadrado.
Agregado, respondiendo al comentario:
Necesita un modelo más simple, como una masa de 1 dimensión en un resorte (o un péndulo de ángulo pequeño). Su posición X es una onda sinusoidal de cierta frecuencia (puede hacer los cálculos para obtener la frecuencia). su máximo X en una dirección es su amplitud a. su velocidad v es dx/dtque está 90 grados fuera de fase con X. En el centro de su oscilación, x = 0y v = máx. Entonces claramente si duplicas atendrá el doble de distancia para balancearse en el mismo tiempo, por lo que v será duplicado. Estoy seguro de que tienes eso.
Ahora tu pregunta es, ¿por qué la energía $E$ es igual a $mv^2/2$, es decir, proporcional a $v^2$? Bueno, esa es una ecuación básica, pero déjame ver si puedo responderla de todos modos.
Si sueltas un peso w desde una altura htiene energía potencial inicial quque se transforma en energía cinética al llegar al suelo a una velocidad v. Si cae bajo la fuerza constante de la gravedad, la distancia que cae en un tiempo dado t es $gt^2/2$ (integral de tiempo de la velocidad), y la velocidad después de ese tiempo es $v = gt$. Entonces, si quieres duplicar la velocidad que tiene en el suelo, tienes que duplicar $t$, ¿no? Y si duplicas $t$, vas a cuadriplicar la altura. Eso cuadruplica la energía. Espero que eso responda la pregunta.
Sólo pensé en otra explicación. Si tiene un resorte cuya fuerza $f$ es $kx$ donde $x$ es el desplazamiento del extremo del resorte y $k$ es su rigidez. Dado que la energía (trabajo) es la integral de $fdx$, la energía $E$ almacenada en el resorte, en función de $x$, es $kx^2/2$. Así que ahí está tu relación energía-amplitud.
Tienes razón, la ecuación es generalizable a dimensiones superiores. La ecuación que diste es simplemente la suma de las diversas formas de energía. en la ecuacion
$$dE = fracmu2 dx left( fracparcial yparcial tright)^2 + fracT2 dx left(frac parcial yparcial x right)^2 $$
El primer término del lado derecho es la energía cinética y el segundo término es la energía potencial elástica. Como dijo Mike, la energía cinética es solo $p^2 / 2m$. La energía potencial elástica en cualquier punto de la string se da sumando toda la fuerza que se necesitó para llevar esa pieza allí (dada por la ley de Hooke); es decir
$$F_s (x) = -T y(x)$$ $$U = int_0 ^y Ty(x) dy = fracT2 y(x)^2$$
Entonces, la energía total es solo la suma de las energías cinética y potencial con la modificación apropiada usando la densidad de masa multiplicada por una longitud infinitesimal como la masa.
Cuando te mueves a dimensiones superiores, tienes que dar cuenta de eso en las energías cinética y potencial. La energía cinética de una parte de la superficie es el cuadrado de la cantidad de movimiento de esa parte ($mv$) dividido por la masa de esa parte. La energía potencial es la constante elástica de la membrana dividida por 2, multiplicada por el cuadrado del desplazamiento desde cero.
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