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Solución:
La razón es que una matriz cuyos vectores columna son linealmente dependiente aparecerá una fila cero en su forma escalonada de fila reducida, lo que significa que un parámetro en el sistema puede tener cualquier valor que desee. El sistema tiene infinitas soluciones. También recuerde que en la forma escalonada de fila reducida los elementos diagonales serán unos excluyendo la fila de ceros. Finalmente, el determinante de una matriz triangular superior es el producto de los elementos diagonales, por lo tanto el determinante será cero. Se vería como $$ A = begin pmatrix 1 & a & b \ 0 & 1 & c \ 0 & 0 & 0 end pmatrix. $$ $ Det (A) = 1 times1 times0 = 0 $.
¿Sabe que agregar un múltiplo de una columna a otra columna no cambia el determinante? ¿Ves que si las columnas son linealmente dependientes, entonces hay una forma de agregar múltiplos de columnas a otras columnas para que una columna se convierta en ceros? ¿Sabe lo que puede decir sobre el determinante de una matriz que tiene una columna todo cero?
Es fácil de entender si comprende las transformaciones lineales.
¿Qué son los vectores?
Así es como pensarías en un vector, ¿verdad? Una flecha apuntando al espacio:
$ begin bmatrix x \ y \ z end bmatrix $
Pero también puede describirlos como una flecha para cada dimensión:
$ x begin bmatrix 1 \ 0 \ 0 end bmatrix + y begin bmatrix 0 \ 1 \ 0 end bmatrix + z begin bmatrix 0 \ 0 1 end bmatrix $
Ahora aquí usamos los vectores unitarios para cada dimensión como base.
¿Qué es una transformación lineal?
Con ese modelo de vectores es fácil describir transformaciones lineales. Veamos una matriz de 3×3 A. Cuando aplicas la transformación A a un vector v obtienes un nuevo vector v ‘: Av = v ‘. Por lo general, aprende a calcularlo multiplicando los componentes de cada fila con los componentes del vector columna y sumándolos:
$ begin bmatrix a & b & c \ d & e & f \ g & h & i end bmatrix begin bmatrix x \ y \ z end bmatrix = begin bmatrix ax + by + cz \ dx + ey + fz \ gx + hy + iz end bmatrix $
Pero si miras ese nuevo vector a la derecha, ves que es lo mismo que
$ x begin bmatrix a \ d \ g end bmatrix + y begin bmatrix b \ e \ h end bmatrix + z begin bmatrix c \ f i end bmatrix $
¿Te suena esto familiar? Sí, la matriz es solo una base de 3 vectores de columna, con la que puede mapear todos los vectores a un conjunto de nuevos vectores, linealmente, multiplicando los componentes con los vectores que reemplazan los vectores unitarios originales. Si tiene este aspecto:
$ begin bmatrix 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 end bmatrix $
, que es la matriz de identidad, entonces, por supuesto, no pasará nada. Simplemente obtienes los mismos vectores, porque la nueva base es la misma que la base del vector unitario original.
¿Cuál es el significado del determinante?
Probablemente sepa cómo calcular el determinante, o puede encontrarlo fácilmente en Internet de todos modos. Pero, ¿qué describe? En el espacio bidimensional, dos vectores bidimensionales podrían describir un paralelogramo. en el espacio tridimensional, tres vectores tridimensionales podrían describir un paralelepípedo. Aquellos tienen un Área A o un Volumen V respectivamente. Ahora, el determinante de una matriz de transformación describe cuánto se escalará el Área o el Volumen al aplicar la transformación a dicho conjunto de vectores.
¿Qué significa un determinante de 0?
Si lees el último párrafo, probablemente puedas deducir: un determinante de cero significa que el Volumen o Área se convierte en 0. ¿Cuándo sucede eso? ¡Por supuesto, solo cuando se pierde al menos una dimensión!
¿Cuándo se pierde esa dimensión?
Originalmente tenemos la matriz de identidad. $ begin bmatrix 1 & 0 \ 0 & 1 end bmatrix $, que consta de 2 vectores independientes, que abarcan un plano en el que se ubican todo tipo de paralelogramos. Hay muchos otros pares de vectores que pueden hacer lo mismo. ¿Qué sucede cuando 2 vectores de columna son dependientes? Se mostrarán en la misma dirección y, por lo tanto, ya no abarcan un plano, ¡solo una línea!
Matemáticamente: si aplica ese tipo de matriz como una transformación a 2 vectores, es de esperar que recuerde que simplemente obtiene un nuevo vector sumando los productos de sus componentes vectoriales con cada vector base. Pero dado que cada vector base es solo una versión escalada de otro, su suma también será una versión escalada de ese vector.
¿Entiendes ahora? Si tiene 2 vectores, que describen un paralelogramo con un área A y aplica una transformación con una matriz con 2 vectores columna dependientes, terminará con 2 vectores en la misma línea, lo que significa que el nuevo “paralelogramo” tiene un área de 0 . Perdiste una dimensión: el determinante es 0.
Reseñas y puntuaciones
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