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¿Por qué el determinante de la matriz 0x0 es igual a 1?

Solución:

Dado que el determinante de una matriz $ M $ es el producto de los valores propios de $ M $, esto produce un producto vacio por $ det ([ ]PS, que es por definición 1.

La razón por la que el producto vacío se define como 1 (esta es una razón entre muchas) es porque hace que la definición de exponenciación en términos de multiplicación funcione. Ya que $$ a ^ n = underbrace {a cdot a cdots a} _ { text {$ n $ veces}} $$ Y por lo tanto, $ a ^ 0 $ es $ a $ multiplicado $ 0 $ veces, que sabemos es $ 1 $. Por lo tanto, el producto vacío es $ 1 $

Más conceptualmente, tenemos los enteros $ mathbb Z $ formar un monoide con la operación de multiplicación, con identidad multiplicativa $ 1 $. Por lo tanto, el producto vacío se evalúa mejor para $ 1 $, ya que en general, la única forma sensata de definir el producto de un conjunto de elementos por inducción es anunciar:

begin {align *} & (S, *, e) text {es un monoide} \ & mathsf {prod}: mathsf {Lista} (S) rightarrow S \ & mathsf {prod} ([]) = e \ & mathsf {prod} (x :: mathsf {resto}) = x * mathsf {prod} ( mathsf {resto}) \ end {align *}

dónde PS[]PS es la lista vacía, y $ (x :: mathsf {resto}) $ es la sintaxis de “una lista que comienza con el elemento $ x $ seguido de una lista llamada $ mathsf {resto} $.

El único mapa lineal $ {0 } to {0 } $ es el mapa de identidad y el mapa de identidad tiene el determinante $ 1 $, porque esta es una propiedad requerida del determinante.

Desde un punto de vista ligeramente diferente, dado que la base de $ {0 } $ está vacía, la matriz representativa del endomorfismo único es la matriz vacía (que es invertible y su inversa es, por supuesto, la matriz vacía). Las matrices invertibles deberían tener un determinante distinto de cero, ¿no es así?

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