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¿Por qué alguna potencia de una matriz de permutación es siempre la identidad?

Si te encuentras con algo que te causa duda puedes dejarlo en los comentarios y te ayudaremos lo más rápido posible.

Solución:

Solo hay un número finito de formas de permutar un número finito de cosas. Entonces, en la secuencia $$P^1, P^2, P^3,ldots$$ de potencias de una permutación $P$, eventualmente debe haber dos potencias que den la misma permutación, lo que significa que $P^ i=P^j$ para algunos $i>jgeq0$. Las permutaciones son reversibles, por lo que $P$ es invertible, por lo tanto, $$P^ij=P^iP^-j=P^j(P^j)^-1=I.$$

Y sí, un bloque de $2times2$ significa aquí una matriz de $2times2$. La pista sugiere elegir una matriz de $5times5$ que tenga una matriz de $2times2$ y una matriz de $3times3$ en su diagonal, y ceros en otros lugares.

Ok, aquí tienes: ten en cuenta que en un grupo finito cada elemento tiene un orden finito, mira por ejemplo aquí para una prueba. Esto significa que en un grupo finito $G$ puedes encontrar un $nin mathbbN$ para cada $gin G$ st $g^n=e$.

Ahora tienes un homomorfismo de grupo $varphi:S_nto Gl_n$ a través del siguiente mapa: toma la base estándar $e_1,ldots,e_n$ y un elemento $sigma in S_n$, luego $varphi(sigma) =(e_sigma(1),ldots,e_sigma(n))$, aquí me refiero a la matriz dividida por estos vectores. Debe comprobar que este es de hecho un morfismo de grupo.

Para un morfismo de grupo tienes que $varphi(sigma)^n=varphi(sigma^n)$ y dado que $S_n$ es un grupo finito, encuentras $n in mathbbN$ st $ varphi(sigma)^n=varphi(sigma^n)=varphi(id_S_n)=id_Gl_n$.

Ahora, para su última parte, le sugiero que pruebe la matriz que está asociada a $(123)(45)$ bajo el morfismo de grupo anterior.

Al final de la web puedes encontrar los informes de otros sys admins, tú asimismo tienes el poder mostrar el tuyo si te apetece.

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