Solución:
Lo que ha encontrado es una propiedad fundamental (o tal vez sería mejor decir falta de propiedad) de la longitud del arco en dos dimensiones, o subir una dimensión, el área de la superficie en tres dimensiones: no es ‘continua’ con respecto a la pequeña cambios de forma.
Ni siquiera necesitas un copo de nieve de Koch o una curva fractal similar para ver esto; Dame alguna forma, por ejemplo, un círculo, y dame una caja arbitrariamente pequeña por la que pasa su límite, y puedo darte una forma que se vea exactamente igual fuera de la caja pero que tenga una longitud de arco arbitrariamente grande. Para ver un ejemplo de esto, imagine comenzar con la curva $ y = sin ^ 2 ( pi x) $ entre $ x = 0 $ y $ x = 1 $. Entonces la longitud exacta del arco de esta curva es difícil de calcular, pero podemos ponerle un límite inferior: la curva va de $ y = 0 $ a $ y = 1 $, luego de $ y = 1 $ a $ y = 0 $ nuevamente, por lo que debe tener una longitud total de al menos $ 2 $. $ (^ *) $
Pero ahora considere la curva $ y = sin ^ 2 (2 pi x) $ entre $ x = 0 $ y $ x = 1 $. Estas son dos copias de la curva sinusoidal colocadas una al lado de la otra, y sus valores $ y $ toman la ‘ruta’ mencionada anteriormente dos veces, por lo que debe tener una longitud total de al menos $ 4 $. Y de manera más general, $ y = sin ^ 2 (n pi x) $ tiene una longitud de arco de al menos $ 2n $ entre $ x = 0 $ y $ x = 1 $. Pero la curva siempre está dentro del rectángulo $ 0 leq x leq 1 pi $, $ 0 leq y leq 1 $. Así que imagina que me dices que quieres obtener una curva continua con una longitud de arco mínima $ ell $ que quepa en una caja de tamaño (longitud lateral) $ d $. Entonces sé que si creo una curva con una longitud de arco $ ell / d $ dentro de un cuadro de $ 1 times 1 $, puedo escalarla por un factor de $ d $ y obtener una curva de longitud de arco $ ell $ dentro de el cuadro $ d times d $. Pero también sé que puedo crear una curva con una longitud de arco de al menos $ ell / d $ en el cuadro $ 1 times 1 $ usando la curva $ y = sin ^ 2 (2 pi ell x / d) $ (por $ 0 leq x leq1 $). Así que puedo “pegar” esta curva donde me digas; Solo modifiqué cosas dentro del cuadro $ d times d $, pero hice que el arclength fuera arbitrariamente grande.
En cuanto a lo que esto tiene que ver con ‘pintar’ el copo de nieve, considera el grosor de la pintura que estás usando para intentar pintar los lados. Si desea que su capa de pintura tenga un grosor finito $ tau $, entonces no estamos hablando necesariamente del copo de nieve de Koch en sí, sino de una curva que se encuentra a una distancia $ tau $ de él en todas partes; dado que la pintura ‘oculta’ algo más pequeño que $ tau $, no podemos distinguir la diferencia entre los dos de todos modos. ¡Pero para cualquier $ tau $ hay curvas que se mantienen dentro de la distancia $ tau $ del copo de nieve pero tienen una longitud finita! Así que solo necesitamos una cantidad finita de pintura para pintar aquí. Y a medida que su pintura se adelgaza cada vez más, la longitud que necesita cubrir aumentará, pero está bien, porque su pintura se esparcirá más y más. En el límite, estás hablando de ‘pintar’ la longitud infinita del copo de nieve en sí, pero ahora tu capa de pintura es infinitamente delgada, por lo que no debería ser demasiado sorprendente que puedas estirarla tanto como necesites. (Esto es muy análogo a tomar un ‘cubo’ de una unidad cuadrada de pintura 2d y observar que puedes pintar un cuadrado de $ 1 $ unidad $ veces 1 $ unidad cuadrada con él, o una unidad de $ 2 $ $ veces 1 / 2 $ unidad rectángulo, o $ 1000 $ unidad $ times 0.001 $ unidad rectángulo, o …)
Mientras tanto, yo hipocresía haga lo mismo con el área (o en el caso 3d, el volumen); está claro que cualquier modificación que se realice dentro de un cuadro $ d times d $ solo puede cambiar el área de la figura (de una forma u otra) como máximo $ d ^ 2 $. $ (^ *) $ Entonces, si me dice que desea aumentar el área delimitada por su forma en mil unidades cuadradas, pero solo me da una caja de $ 1/10 veces 1/10 $ unidad para hacerlo, puedo bastante decirte que eso es imposible.
Por cierto, esta misma falta de continuidad para la longitud del arco está en juego en otra ‘paradoja’ muy similar: la paradoja de la escalera, o por qué $ pi ne4 $. La explicación fundamental es la misma: el hecho de que dos curvas estén arbitrariamente próximas entre sí a lo largo de sus vanos completos no le dice nada acerca de qué tan cerca están las longitudes de sus arcos.
$ (^ *) $ ¡Tenga en cuenta que no le he dado pruebas de estas afirmaciones! Debería ser escéptico aquí, porque ya ha visto que el comportamiento no necesariamente coincide con lo que podría esperar en lo que respecta a estas cosas. Afortunadamente, estas afirmaciones están cierto, pero probarlos requeriría ir bastante lejos.
Puedes ver esta paradoja ya con la “corneta del ángel” obtenida al rotar la curva $$ y (x) = {1 over x ^ {3/4}} qquad (x geq1) $$ alrededor de $ x $ -eje. El volumen $$ pi int_1 ^ infty y ^ 2 (x) > dx $$ de este corneta es finito, mientras que su área de superficie $$ 2 pi int_1 ^ infty y (x) sqrt {1+ y ‘^ 2 (x)} > dx $$ es infinito. Este último indicaría que necesitas una cantidad infinita de oro para dorarlo por dentro, aunque el volumen sea finito. La resolución de la aparente paradoja es la siguiente: en el término “dorado” estamos transmitiendo la impresión de que cada elemento de la superficie está revestido con el mismo espesor, por pequeño que sea. Pero para el interior de una “corneta de ángel” esto no es posible ya que el diámetro de la sección transversal de la corneta converge a $ 0 $ cuando $ x to infty $.
Esto parece ser un derivado de la conocida paradoja de la costa.
Cuando “pintas” el copo de nieve de Koch con una línea de ancho distinto de cero, estás muestreando efectivamente el fractal con una resolución del ancho de línea. Al hacerlo, no se obtiene la longitud del fractal infinito, sino un fractal con iteraciones finitas, obteniendo por tanto una longitud finita.
Esto es análogo a la paradoja de la línea costera, que establece que el muestreo de una línea costera con una resolución más alta producirá una línea costera más larga que cuando se muestrea la línea costera con una resolución más baja. En el ejemplo de Wikipedia, el muestreo de la costa de Gran Bretaña a una resolución de 50 km da una longitud de la costa que es 600 km más larga que si se muestreara a una resolución de 100 km.
