Intenta interpretar el código de forma correcta previamente a aplicarlo a tu proyecto si tdeseas aportar algo puedes comentarlo.
Solución:
La transitividad es la propiedad fundamental de todas las relaciones que llamamos “algo algo” de orden. Por supuesto, una relación de equivalencia también es transitiva, y de hecho también es una hacer un pedido.
Entonces, tal vez, uno puede partir de las relaciones transitivas, dividirlas según sean reflexivas, irreflexivas o ninguna. (Obviamente, no hay nada nuevo en esta taxonomía.) En la rama irreflexiva se obtienen exactamente las órdenes parciales estrictas. En la rama reflexiva se obtienen preórdenes y sus especializaciones, a saber, órdenes parciales y relaciones de equivalencia.
En la tercera rama encontramos las relaciones transitivas de gentuza, y no estoy seguro de que nadie las llame órdenes. También hay preórdenes que no son ni órdenes parciales ni relaciones de equivalencia, por supuesto. Entonces, tal vez uno podría adoptar la definición de que una relación de orden es una relación binaria que es transitiva y reflexiva y antisimétrica o irreflexiva.
La única diferencia principal con la definición que considera es que una relación que es transitiva y antisimétrica, pero ni reflexiva ni irreflexiva, no se considera una relación de orden.
La totalidad (linealidad) se puede especificar diciendo que para todo $a$ y $b$, si $a neq b$, entonces $a R b$ o $b R a$. Esto funciona tanto para relaciones reflexivas como irreflexivas. (Gracias a @mlc por recordarme que cubra este detalle).
A estricto orden parcial es una relación irreflexiva y transitiva (la asimetría es una consecuencia). Esta es la definición más común.
En realidad, esta noción es completamente equivalente a la noción de Orden parcial (una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva).
De hecho, si $X$ es un conjunto y $Delta_X=(x,x):xin X$, tenemos que
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si $S$ es una orden parcial estricta en $X$, entonces $S^+=ScupDelta_X$ es una orden parcial;
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si $R$ es una orden parcial en $X$, entonces $R^-=RsetminusDelta_X$ es una orden parcial estricta en $X$;
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si $S$ es un orden parcial estricto en $X$, entonces $S=(S^+)^-$;
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si $R$ es una orden parcial en $X$, entonces $R=(R^-)^+$.
Puede intentar probar las afirmaciones.
Entonces, cualquier orden parcial estricto determina un orden parcial único y viceversa. Pasar de $S$ a $S^+$ es esencialmente lo mismo que hacemos cuando pasamos de $<$ en números a $le$.
La propiedad de ser un orden lineal (o total) se puede expresar por
para todo $a,ben X$, si $ane b$, entonces $amathrelTb$ o $bmathrelTa$
donde $T$ es un orden parcial (estricto).
¿Son útiles las órdenes parciales estrictas? Sí. Si compara las dos definiciones, verá que la igualdad no es necesaria en la definición de un orden parcial estricto (aunque no para los lineales), lo que las hace atractivas para ciertos marcos lógicos donde la igualdad no tiene un estatus particular con respecto a otros predicados. .
Si tienes alguna desconfianza o capacidad de aumentar nuestro post eres capaz de dejar un paráfrasis y con deseo lo interpretaremos.