Solución:
Dada una función no decreciente $ f: A to B $, considere la función $ hat f: A to {1,2, ldots, 29 } $ dada por
$$ hat f (n) = f (n) + n-1 $$
En otras palabras,
$$ hat f (1) = f (1), hat f (2) = f (2) +1, ldots, hat f (10) = f (10) + 9 $$
Entonces $ f $ no es decreciente si y solo si $ hat f $ es estrictamente creciente. Si observa de cerca, verá que esta transformación de $ f $ en $ hat f $ es una biyección de {funciones no decrecientes de $ A $ a $ B $} a {funciones estrictamente crecientes de $ A $ a $ {1,2, ldots, 29 } $}. Tengo que salir corriendo ahora para no poder escribir los detalles, pero creo que serán claros: avíseme si necesita que agregue detalles cuando regrese.
Las funciones estrictamente crecientes son fáciles de contar, ya que hay una biyección de esas funciones a los conjuntos del mismo tamaño del dominio tomados de un conjunto del mismo tamaño que el co-codominio. Es decir, dado un conjunto de tamaño $ 10 $ tomado del conjunto $ {1,2, ldots, 29 } $ tomamos $ hat f (1) $ como el miembro más pequeño del conjunto, $ hat f (2 ) $ como el segundo más pequeño, etc.
Estas dos biyecciones muestran que el número deseado de funciones no decrecientes es
$$ {29 elija 10} $$
Para aclarar las cosas, aquí se explica cómo obtener una función no decreciente $ f: {1,2, ldots, 10 } to {1,2, ldots, 20 } $.
Primero, elija cualquier número distinto de $ 10 $ de $ {1,2, ldots, 29 } $. Ordénelos en orden creciente. Luego definimos $ f (1) $ como el más pequeño de los números elegidos. Definimos $ f (2) $ como el segundo más pequeño de los números elegidos menos $ 1 $. (Se garantiza que sea mayor o igual a $ f (1) $). Definimos $ f (3) $ como el tercero más pequeño de los números elegidos menos $ 2 $. (Se garantiza que sea mayor o igual a $ f (2) $). … Definimos $ f (10) $ como el décimo más pequeño de los números elegidos menos $ 9 $. (Se garantiza que sea mayor o igual a $ f (9) $).
Lo contrario de una función no decreciente no es una función decreciente. Por ejemplo, la función que asigna $ 1 mapsto 1, ; 2 mapsto 3, ; 3 mapsto 2 $ no es ni decreciente ni no decreciente.
Pero su idea se puede adaptar para calcular el número de funciones no decrecientes. Solo necesita considerar la cantidad de formas de elegir 10 números de 20 con repeticiones.