Basta ya de buscar por todo internet porque estás al sitio correcto, contamos con la respuesta que necesitas hallar sin liarte.
Solución:
Hice que mi alumno, Tim Michaels, trabajara en esto. Se nos ocurrió una complicada relación de recurrencia, que se indica a continuación. Las primeras respuestas son 1, 2, 6, 25, 128, 758, 5014, 36194, 280433, 2303918, 19885534, 179028087, 1671644720, 16114138846, 159761516110, 1623972412726, 16880442523007, 179026930243822, 1935042523007, 179026930243822, 19350351944194413890290 , 354767977792683552908, 4154708768196322925749, 49152046198035152483150, 587011110939295781585102, 7072674305834582713614923. Tenga en cuenta que contamos las rotaciones y los reflejos como incrustaciones distintas. Un patrón interesante es que mod 2, hay una periodicidad de 8 veces que no entendemos y no podemos probar en general.
Aquí hay una imagen de los casos n = 1,2,3,4, con 1,2,6,25 mosaicos en cada caso. La forma de generarlos sistemáticamente es “empujar” una línea vertical desde la derecha a todos los anteriores Tejas construidas de todas las formas posibles. Así se define la relación de recurrencia.
Bien, aquí está la recurrencia: Sea $ a _ ell, j, m $ el número de teselaciones distintas con $ ell $ mosaicos, $ j $ bordes que se encuentran con el lado derecho del cuadrado y $ m $ Vértices 4-valentes. $$ a _ ell, j, m = sum_ p = 1 ^ ell (-1) ^ p + 1 sum_ i = 0 ^ m sum_ n = 1 ^ ell-1 sum_ k = 0 ^ n-1 alpha_ n, k, i, ell, j, m, p a_ n, k, i $$ donde, dejando $ t = mi, s = ell-npt $ y $ r = k + s + t + pj $, $$ alpha_ n, k, i, l, j, m, p = binom r-1 p-1 binom k-r + 2 p binom s + r-1 r-1 binom rp t. $$
Editar: He publicado una preimpresión que describe la relación de recurrencia aquí. Los comentarios son bienvenidos. ¿Se puede publicar este tipo de cosas en cualquier lugar que se sepa?
Edición 2: Nathan Reading acaba de publicar un preimpreso relevante. Encuentra una biyección entre teselaciones genéricas (sin vértices cuatrivalentes) y un conjunto de permutaciones que evitan un patrón determinado.
Edición 3: El artículo ha sido publicado en Annals of Combinatorics.
Este problema es tentador. Puede ser una versión de “juguete” de alguna investigación sustancial en curso en topología, por lo que es valiosa e interesante. Tiene análogos inmediatos en áreas de topología clásica, teoría de nudos, álgebra universal y teoría de campos topológicos. Por versión de juguete, no me refiero a que sea necesariamente fácil de resolver, sino que se puede usar para presentar algunas ideas avanzadas de una manera no técnica. Perdóneme porque lo que sigue no es una respuesta a su pregunta, sino una lista laberíntica de problemas relacionados y posibles aplicaciones. Solo espero que inspire a alguien aquí a investigar las conexiones en la topología algebraica. (Por lo tanto, wiki de la comunidad).
Está pidiendo contar clases de equivalencia de marcos rectangulares parametrizados (donde un marco parametrizado es un marco con posiciones de línea precisas). En cierto sentido, este tipo de problema de enumeración surge a menudo en la topología algebraica cuando se quiere comprender la descomposición celular de un espacio complicado. Tomemos, por ejemplo, el espacio de n planos en R ^ d. Estos espacios se denominan Grassmannianos y su topología se puede analizar dividiéndolos en subconjuntos de varias dimensiones. Estos subconjuntos se denominan células de Schubert. Contar estas células de Schubert y comprender cómo encajan entre sí fue un avance importante. Vea las entradas de wikipedia en Grassmannian y Geometría enumerativa.
Sus espacios de encuadre de rectángulo parametrizado (denotados quizás Fi ^ n donde i indexa las clases de equivalencia de encuadres que tienen n sub-rectángulos) son análogos a las celdas del Grassmanniano, pero el espacio estratificado resultante es un espacio universal de encuadres rectangulares parametrizados que incluye marcos con un número arbitrariamente grande pero finito de sub-rectángulos. Es decir, cada uno de sus espacios de encuadre F (las clases de equivalencia que desea contar) representa una “celda” de alguna dimensión fija que degenera en encuadres de menor grado en los límites. Al estudiar cuidadosamente la forma simple de cada celda y cómo degeneran en otras celdas, podemos crear un espacio universal $ F ^ infty $ = $ bigcup $ $ F ^ n _ i $ (módulo las relaciones de equivalencia del caso límite).
A veces, uno puede abordar la topología de este espacio universal por otros medios, y ese conocimiento global puede usarse para contar el número de células necesarias en cada estrato. Finalmente, como señala, los espacios tienen ciertas simetrías que pueden pasar al espacio completo de una manera interesante.
Este truco de estratificación surge todo el tiempo. Si desea comprender un espacio grande, busque la manera de dividirlo en estratos que encajen de manera analizable. O bien, busque un espacio relacionado que tenga una estratificación natural, analice este espacio estratificado y haga inferencias sobre el espacio original. Un gran uso no trivial de esto en los años 90 fue cuando Vassiliev se dio cuenta de que los nudos se podían estudiar analizando el espacio de los no nudos que admitían una estratificación muy clara (esencialmente estratificar los no nudos por el número de puntos donde el círculo El mapa no es inyectivo) Vassiliev encontró una estructura topológica clara en este espacio y esto le permitió hacer afirmaciones sobre la estructura del conjunto de nudos. Esto llevó a otros como Kontsevich y Bar Natan a proporcionar herramientas computacionales reales utilizando trucos para contar e integrar sobre celdas. Por ejemplo, Mathworld tiene dos buenos artículos introductorios sobre Invariantes de Vassiliev y Integrales de Kontsevich.
En tercer lugar, su espacio de encuadre rectangular evoca los pequeños discos operados que codifican una estructura algebraica. Vea la página de wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Operad_theory#.22Little_something.22_operads
Siempre que tengamos un conjunto de espacios topológicos de modo que los elementos de los espacios se puedan combinar geométricamente para obtener espacios de mayor grado, da a entender que la geometría se puede estudiar utilizando técnicas del álgebra. Si imagina poner variables en cada uno de los sub-rectángulos de su marco, ha descrito una operación algebraica. Imagine que cada uno de sus n-marcos parametrizados definió un mapa de n entradas a 1 salida, una “operación n-aria”. Suponga además que la geometría fuerza alguna condición de consistencia que exige que cuando coloque el resultado de una operación p-aria en uno de los sub-rectángulos en un marco q-ario, obtenga justo lo que obtendría de la correspondiente (p + q-1) -operación de marco de reenvío. Esto significa que su álgebra debe satisfacer ciertas relaciones estándar (tal vez hasta la homotopía) y luego estas operaciones pueden descender a operaciones en una teoría de cohomología apropiadamente definida. Es decir, la topología de su espacio de encuadre universal puede indexar varias operaciones que satisfacen ciertas relaciones exactamente. Vea, por ejemplo, las entradas de ncatlab.org en operado, L-infinito-álgebra, y Álgebra del infinito.
Todavía no tengo suficiente representante para comentar, así que haré este CW ya que no es una respuesta completa, solo un comentario.
¿Superaría parte de la dificultad utilizando algún tipo de representación gráfica del rectángulo subdividido? Cada rectángulo es un vértice y un borde representa compartir un lado, es decir, el primer rectángulo de arriba estaría representado por los bordes $ (1,2), (1,3), (2,4), (3,4) $ y el segundo por $ (1,2), (1,3), (1,4), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5) $ , numerando los rectángulos de arriba a la izquierda a abajo a la derecha. La parte complicada aquí sería implementar las operaciones para subdividir por un segmento de línea vertical u horizontal. En cambio, comenzar con líneas en lugar de segmentos podría ser prometedor.
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