Este dilema se puede abordar de variadas maneras, por lo tanto te enseñamos la que para nosotros es la respuesta más completa.
Solución:
La publicación cita la expresión estándar para el número de formas de distribuir $n$ objetos idénticos entre $r$ grupos. La redacción utilizada parece indicar que está al tanto del argumento de conteo que conduce a esta expresión. En caso de que me equivoque, consulte el artículo de Wikipedia Stars and Bars.
¿Qué significa “probarme a mí mismo por qué no es $(r+1)^n$?” Escribiré sobre esta pregunta por un rato, y hacia el final describiré el razonamiento que puede que estar conectado con su $(r+1)^n$.
Veamos primero una pregunta más simple, demostrando que no es $(r+1)^n$. Si puedes encontrar incluso un único par $(r, n)$ de enteros para los cuales la expresión $(r+1)^n$ da la respuesta incorrecta, sabrá que $(r+1)^n$ no es (siempre) correcto.
Para hacer esto, solo siga la excelente sugerencia de Gerry Myerson. Mire un pequeño ejemplo, como $r=2$, $n=2$. ¿De cuántas maneras puedes distribuir $2$ gominolas idénticas entre dos personas, $A$ y $B$? Tal vez $A$ se quede con los dos. Quizás $B$ sí. Tal vez $A$ obtenga uno y $B$ obtenga uno. Eso es todo, el número total de formas es $3$.
Si la expresión $(r+1)^n$ fuera correcta para $r=2$, $n=2$, el número de formas sería $3^2$, que claramente no es igual a la respuesta correcta $3$ que estamos absolutamente seguros de. (Estamos absolutamente seguros porque el conteo es tan simple, tan directo, que no es posible que hayamos cometido un error). Por cierto, si revisas, encontrarás que la expresión $C(n+r-1,r -1)$ da la respuesta correcta, para $C(3,1)=3$.
Cuando intentas resolver un problema combinatorio, es importante experimentar, tratar de buscar casos pequeños en los que puedas contar “a mano”. A menos que el problema sea muy estándar, esa es la forma correcta de comenzar. Y cualquier conteo concreto que hagas puede servir luego como control.
Entonces sabemos que $(r+1)^n$, al menos a veces, da una respuesta incorrecta. (En realidad, por lo general da una respuesta que es mucho más grande que la verdad.)
A continuación, tratemos de tratar con por qué $(r+1)^n$ da la respuesta incorrecta. ¿Hay alguna buena razón para pensar que debería dar la respuesta correcta? Crees que puede haber. Busquemos un problema para el cual $(r+1)^n$ sea la respuesta correcta.
tengo $n$ distinto obsequios para repartir, a $r$ personas, excepto que puedo elegir no repartir algunos de los obsequios y quedármelos para mí. Para cualquier regalo, tengo $r+1$ opciones de qué hacer con él. Luego hay $(r+1)^n$ maneras de hacer la entrega de regalos. Es crucial aquí que los dones sean distintos.
No puedo ver ninguna conexión directa entre esta entrega de regalos y el problema de distribuir $n$ idéntico objetos entre $r$ personas.
Si los regalos son distintos y no puedo quedarme con ninguno, hay $r^n$ formas de hacer la distribución. Uno podría pensar que entonces uno podría ajustar esto por el hecho de que los regalos son todos idénticos. Ese tipo de ajuste se puede hacer cuando se cuenta el número de “palabras” con letras de $6$ que se pueden hacer usando todas las letras de CANADÁ. Primero imagina que las A son distintas, obteniendo $6!$, y luego las divide por $3!$ para lidiar con el hecho de que las A no son distintas. Pero tal estrategia no funcionará para nuestro problema de distribución de objetos idénticos. Sería exageradamente contado.
Cualquier estrategia para contar pensando en repartir los objetos de uno en uno se topa rápidamente con problemas. Por lo general, supera en gran medida el número de formas. Por ejemplo, ¿de cuántas formas podemos repartir $n$ gominolas entre $2$ personas, $A$ y $B$? La persona $A$ puede obtener $0$, o $1$, o $2$, y así sucesivamente hasta $n$, un total de $n+1$ posibilidades. Probablemente de ahí viene tu intuición sobre el $+1$, aunque lo aplicaste a $r$, no a $n$.
¿Qué pasa con $n$ gominolas y $3$ personas? Podrías pensar que hay $n+1$ maneras de decidir cuántos recibe $A$, y luego $n+1$ maneras de decidir cuántos recibe $B$, y $C$ se queda con el resto. Ese argumento daría una cuenta de $(n+1)^2$. Pero esa cuenta sería incorrecto. Si tiene personas de $3$ y gominolas de $8$, y le ha dado $6$ a $A$, entonces no puede dar $5$ a $B$. Entonces, aunque hay $n+1$ opciones sobre cuántos dar a $A$, no es true que para cada una de estas opciones hay $n+1$ formas de decidir cuántas dar a $B$.
Consideremos que hay $r-1$ bloquesde modo que, habrá $r$ espacios a llenar (incluyendo la izquierda del bloque más a la izquierda y la derecha del bloque más a la derecha). Ahora, $n$ cosas idénticas deben llenarse en estos espacios. Ahora hay $n+r-1$ cosas en esa línea, que se pueden organizar de $(n+r-1)!$ maneras.
Pero debemos evitar los arreglos entre las cosas $n$ y los bloques $r-1$, ya que son idénticos.
Entonces, la respuesta final es $$frac(n+r-1)!n! (r-1)! = C(n+r−1,r−1).$$
$C(n+r-1, r-1)$ es la respuesta para la distribución de $n$ objetos idénticos entre $r$ personas. No para los grupos, porque los grupos se consideran idénticos, no tienen nombre. Ejemplo: dos bolas idénticas se pueden distribuir entre dos personas de tres formas: $left (2,0), (0,2), (1,1)right$. Pero cuando buscamos grupos, $(2,0)$ y $(0,2)$ se consideran iguales, por lo que ahora la respuesta será solo dos.
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