Solución:
Con respecto a las notaciones para la derivada:
Ventajas de usar la notación de Leibniz:
- Hace que la mayoría de las consecuencias de la regla de la cadena sean “intuitivas”. En particular, es más fácil ver que $ frac {dy} {dx} = frac {dy} {du} cdot frac {du} {dx} $ que ver que $[f(g(x))]’= f’ (g (x)) cdot g ‘(x) $. Véase también $ u $ -sustitución, en la que “definimos $ du: = frac {du} {dx} dx $”.
- En un entorno físico / científico, hace obvio cuáles deberían ser las unidades de la nueva expresión (integral o derivada). Por ejemplo, si $ s $ está en metros y $ t $ en segundos, claramente $ frac {ds} {dt} $ debería estar en metros / segundo.
Desventajas:
- Es más difícil / más torpe realizar un seguimiento de los argumentos de la derivada con esta notación. Por ejemplo, puedo escribir y realizar un seguimiento de $ f ‘(2) $ más fácilmente que $ left. Frac {dy} {dx} right | _ {x = 2} $
- A menudo conduce a la noción errónea de que $ frac {dy} {dx} $ es una razón
En particular, casi nadie usa la notación de Newton para la integral (“antiderivada”), en la que la antiderivada de $ x
La diferencia más obvia es que la notación de Leibnitz define estrictamente cuál es la variable independiente. En cálculo básico tendemos, por regla general, a derivar una función “y” de una variable “x”, pero ¿qué sucede cuando se desea derivar la función $ w = 3x + 4m $? ¿Cómo le ayudaría la notación de Newton a comprender cuál es la variable y cuál es el parámetro?
Además, en integrales, la notación simplifica mucho los métodos como la sustitución o la integración por partes, ya que usa el símbolo “dx” como si fuera una variable sustituible.
Creo que es mejor usar ambas notaciones simultáneamente.
Por ejemplo, mi declaración preferida de la regla de la cadena es:
$$ frac {d} {dx} f (y) = f ‘(y) frac {d} {dx} y $$
Por ejemplo, podemos escribir:
$$ frac {d} {dx} sin (x ^ 3) = sin ‘(x ^ 3) frac {d} {dx} x ^ 3 = cos (x ^ 3) cdot 3x ^ 2 = 3x ^ 2 cos (x ^ 3) $$
Intente hacer esto usando solo la notación newtoniana, o solo la notación leibniziana; rápidamente notará que ambos son más difíciles.
También hay versiones multivariables. Por ejemplo:
$$ frac {d} {dt} f (x, y) = (D_0 f) (x, y) frac {d} {dt} x + (D_1 f) (x, y) frac {d} { dt} y $$