Ezequiel, miembro de este equipo, nos ha hecho el favor de crear este enunciado porque domina perfectamente este tema.
Solución:
Vedveer Arya parece ser la persona a quien preguntar sobre la conexión y las fuentes originales: escribió que el método de factorización de Fermat fue anterior a Narayana Pandit.
1) https://www.eswaraindia.org/html/lecture-series13.html Esto parece estar basado en una conferencia, en la tabla, la entrada 19 está sobre esto. Se incluye una dirección de correo electrónico del autor.
2) https://www.facebook.com/HinduismDeMystified/posts/1602564033109901:0
(Después de algunos comentarios sobre las ecuaciones de Pell, escribe: “Este método de Nārāyana Pandit es asombrosamente preciso y equivalente a todos los demás métodos. En la ilustración adjunta, aplicó explícitamente un método de factorización al representar un número entero no cuadrado como la diferencia de dos cuadrados . Este método ahora se conoce como método de factorización de Fermat, mientras que Nārāyana Pandit lo aplicó mucho antes que Fermat. Por lo tanto, este método debe ser nombrado como método de factorización de Nārāyana Pandit. “(A continuación, algunas fórmulas no veo una conexión con el método de factorización). .
3) http://docslide.us/documents/vedveer-arya-dating-historydocx.html
otro documento, al final es el mismo texto que en 2)
4) Ha escrito un libro de 380 páginas, Contribuciones indias a las matemáticas y la astronomía: desde el período védico hasta el siglo XVII. http://www.dkagencies.com/doc/from/1123/to/1123/bkId/DKB3317162763217421699131230371/details.html
Puede probar el artículo ‘Narayana Pandit’ en el libro Logros matemáticos de los matemáticos indios premodernos
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780123979131000120
No tengo acceso al texto, pero el resumen parece plausible. La introducción del libro incluye una discusión de los precursores matemáticos de Fermat en India:
Bhaskara II resolvió en números enteros la ecuación $ Nx ^ 2 + 1 = y ^ 2 $ introduciendo su famoso método “Chakravala” (cíclico). Como ilustración de su método elegante y simple, dio dos ejemplos de resolución en números enteros, las ecuaciones $ 67x ^ 2 + 1 = y ^ 2 $ y $ 61x ^ 2 + 1 = y ^ 2 $. El último ejemplo es de gran interés histórico. Este ejemplo fue propuesto por el famoso matemático francés Pierre De Fermat (1601-1665 d. C.) a Frenicle en una carta de febrero de 1657 d. C.
En 1350 d.C., Narayana Pandita, un comentarista de “Bijaganita” de Bhaskara II, resolvió en números enteros dos ecuaciones más. $ 103x ^ 2 + 1 = y ^ 2 $ y
$ 97x ^ 2 + 1 = y ^ 2 $ en su obra “Bijaganita”, utilizando el método “Chakravala” de Bhaskara II. Para demostrar aún más la elegancia, la belleza y la simplicidad del método “chakravala”, el presente autor ha incluido soluciones integrales de cinco ecuaciones nuevas más:
$ 179x ^ 2 + 1 = y ^ 2 $, $ 131x ^ 2 + 1 = y ^ 2 $, $ 231x ^ 2 + 1 = y ^ 2 $, $ 31x ^ 2 + 1 = y ^ 2 $, y
$ 71x ^ 2 + 1 = y ^ 2 $
Desafortunadamente, las fuentes sobre la historia de las matemáticas indias son algo difíciles de encontrar en Internet (e incluso en bibliotecas). Afortunadamente, esta pregunta en particular puede responderse.
Tres estudiosos de la historia de las matemáticas de la India impartieron un curso llamado “Matemáticas en la India: del período védico a los tiempos modernos”, que está disponible en línea: consulte el esquema del curso, el programa de estudios, las notas de la clase, el curso real, la lista de reproducción de YouTube. Este tema en particular (el tratamiento de la factorización de Nārāyaṇa Paṇḍita) está cubierto en la Conferencia 27 por MD Srinivas, comenzando en la diapositiva 12 o desde las 15:25 a las 20:10 en el video.
Aparentemente, este es el primer libro (conocido) en matemáticas de la India que discute la factorización (hasta c. 1356), pero el tratamiento aquí ya no es trivial y contiene lo que se conoce como el método de Fermat (siglo XVII). Después de indicar el método habitual de comprobar si las sucesivas acchedyas $ 2 $, $ 3 $, $ 5 $, $ 7 $ etc divida el número (literalmente, “acchedhya” significa “indivisible” o “irreducible”), Nārāyaṇa dice: dado un número no cuadrado $ N $,
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escribiendo $ N = a ^ 2 + r $, si sucede que $ 2a + 1 – r $ es un cuadrado (decir $ b ^ 2 $), entonces nuestro trabajo está hecho: $ N = (a + 1 + b) (a + 1 – b) $. [apada-pradasya rāśeḥ padam āsannaṃ dvi-saṅguṇaṃ saikam /
mūlāvaśeṣa-hīnaṃ vargaś cet kṣepakaś ca kriti-siddhau //] -
De lo contrario, si ($ 2a + 1 – r $) no es un cuadrado, agregue $ (2a + 3) $ y así sucesivamente, y sigue haciendo esto [numbers increasing in arithmetic sequence, i.e. successive odd numbers] hasta que consigas un cuadrado. Es decir, si $ (2a + 1) + (2a + 3) + puntos + (2a + 2k – 1) – r $ es un cuadrado (decir $ b ^ 2 $), luego $ N = (a + k + b) (a + k – b) $. [vargo na bhavet pūrvāsannapadaṃ dvi-guṇitaṃ tri-saṃyuktam /
adyād uttara-vṛddhyā tāvad yavad bhaved vargaḥ //]
Después de haber establecido esta regla, elabora dos ejemplos: $ N = 1161 $ y $ N = 1001 $ – por supuesto, ambos son fáciles de factorizar directamente (usando el método sencillo que mencionó anteriormente), pero imagino que eligió estos ejemplos porque ilustran los dos casos: en el caso de $ 1161 $, ya $ 2a + 1 – r $ es un cuadrado, y en el caso de $ 1001 $, tenemos que agregar tantos como $ 14 $ términos antes de obtener un cuadrado.
Más referencias:
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El texto (sánscrito) de la obra de Nārāyaṇa (Gaṇita-kaumudī, c. 1356) fue editado e impreso por primera vez por Padmakar Dvivedi, hijo de Sudhakar Dvivedi en dos volúmenes: 1936 (Volumen 1) y 1942 (Volumen 2).
- Me tomó un tiempo localizarlo, pero esta sección en particular sobre factorización (parte de vyavahāra (Capítulo) 11) está en la página 246.
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Paramanand Singh publicó una traducción al inglés de la obra, con notas, en números sucesivos de la revista Gaṇita Bhāratī: 20 (1998), págs. 25–82; 21 (1999), págs. 10–73; 22 (2000), págs. 19–85; 23 (2001), págs. 18–82; 24 (2002), págs. 34–98.
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Algunas (más fácilmente disponibles) (breves) referencias a las palabras de Nārāyaṇa Gaṇita-kaumudī (centrándose más en la combinatoria) se puede encontrar en El arte de la programación informática por DE Knuth (Volumen 4A, sección 7.2.1.7, págs. 499–500, publicado anteriormente como Fascículo 4B, versión preliminar en línea), en el libro Combinatoria: antigua y moderna (OUP 2003), etc.
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