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Solución:
Encontré fórmulas explícitas usando la función Beta incompleta generalizada definida de la siguiente manera (esta es una función especial estándar disponible en paquetes numéricos):
$$mathrmBleft(z_1,z_2;alpha,betaright)=int_z_1^z_2x^alpha- 1left(1-xright)^beta-1mathrmdx$$
Resulta que
$$g(x) = frac1Zleft(xAright)^alpha-1left(Bxright)^beta-1$$
con la constante de normalización
$$Z=int_a^bleft(xAright)^alpha-1left(Bxright)^beta-1mathrmdx =left (BAright)^alpha+beta-1mathrmBleft(a,b;alpha,betaright)$$
En lugar de calcular $leftlangle xrightrangle$ y $langle x^2rangle$ directamente, calculamos $langle xArangle$ y $langle (xA)^2rangle$. Tenemos:
$$leftlangle xArightrangle =frac1Zint_a^bleft(xAright)^alphaleft(Bxright)^ beta-1mathrmdx =frac1Zleft(BAright)^alpha+betamathrmBleft(a,b;alpha+1 ,betaright) =(BA)fracmathrmBleft(a,b;alpha+1,betaright)mathrmBleft(a,b; alfa,betaderecha)$$
y, de manera similar:
$$langle left(xAright)^2rangle =left(BAright)^2fracmathrmBleft(a,b;alpha+2, betaright)mathrmBleft(a,b;alpha,betaright)$$
De estos es fácil obtener $langle x rangle$ y $langle x^2 rangle – langle x rangle^2$:
$$langle x rangle = langle x – A rangle + A$$
$$langle x^2 rangle – langle x rangle^2 = langle (xA)^2 rangle – langle xA rangle^2$$
Quizás sean posibles algunas simplificaciones, pero no las conozco. Si alguien puede ayudar en eso, sería increíble.
Una buena manera es trabajar con una distribución Beta estándar y truncarla dos veces.
Sea $X sim Beta(alpha,beta)$ con pdf $f(x)$, e imponga puntos de truncamiento superior e inferior $a_0$ y $b_0$.
Sea $g(x) = f(x , big| , a_0 < X < b_0) = largefracf(x){P(a_0 es decir
Entonces, $E_g[X]$ es:
y $E_g[X^2]$ es:
donde estoy usando el Expect función de la matemáticasStatica paquete para Matemática para hacer el meollo de la cuestión.
Transformar de Beta estándar a Beta Generalizada
Por definición, si $X sim Beta(alpha,beta)$, entonces $$X_Gen = A+(BA)X , sim , GeneralisedBeta(alpha,beta,A,B)$ PS
De ello se deduce que la media de la Beta generalizada doblemente truncada (truncada arriba en $b$ y abajo en $a$, tal que $A
$$beginalign*displaystyle Egrande[X_Gen , big| , a < X_Gen donde: $$a_0 = fracaABA quad text y quad b_0 = fracbABA $$ Esta es la misma solución que obtuvo @becko… excepto que Becko olvidó transformar los límites $a$ y $b$ en $a_0$ y $b_0$. Ejemplo @david propuso el siguiente caso numérico: params = $a_0 rightarrow fracaABA, b_0 rightarrow fracbABA, A rightarrow 10, B rightarrow 40, a rightarrow 15, b rightarrow 25, alpha rightarrow 5, beta rightarrow 10 quad$ Aquí hay una gráfica, dados estos parámetros, de: La media $Egrande[X_Gen , big| , a < X_Gen notas Al final de la web puedes encontrar las críticas de otros desarrolladores, tú igualmente puedes dejar el tuyo si te gusta.
A + (B - A) sol1 //. params // N
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Beta[z,a,b] denota la función beta incompleta $int _0^zt^a-1 (1-t)^b-1 dt $Utiliza Nuestro Buscador