Luego de consultar con expertos en esta materia, programadores de deferentes áreas y maestros dimos con la respuesta al dilema y la plasmamos en este post.
Solución:
Hay una clase de operadores lineales que tienen un determinante. Son, por alguna extraña razón, conocidos como “operadores con un determinante”.
Para los espacios de Banach, los detalles esenciales van en esta línea. Fija un espacio de Banach, X, y considera el rango finito operadores lineales. Eso significa que T: X → X es tal que Im(T) es de dimensión finita. Dichos operadores tienen una traza bien definida, tr(T). Usando esta traza podemos definir una norma en el subespacio de operadores de rango finito. Si nuestro operador fuera diagonalizable, lo definiríamos como la suma de los valores absolutos de los valores propios (de los cuales solo un número finito de ellos son distintos de cero, por supuesto). Esta norma es más fina que la norma del operador. Luego tomamos el cierre en el espacio de todos los operadores del espacio de operadores de rango finito con respecto a esta norma de seguimiento. Estos operadores se llaman clase de rastreo operadores. Para tales, existe una noción bien definida de huella.
(Dicho sea de paso, estos operadores forman un ideal de dos lados en el espacio de todos los operadores y en realidad son el dual del espacio de todos los operadores a través del emparejamiento (S,T) → tr(ST).)
Ahora la traza y el determinante están muy estrechamente vinculados a través de la fórmula etr T = det eT. Esto significa que podemos usar nuestros operadores de clase de seguimiento para definir una nueva clase de “operadores con un determinante”. los key propiedad debe ser que la exponencial de un operador de clase de traza debe tener un determinante. Esto sugiere observar la familia de operadores que difieren de la identidad por un operador de clase de seguimiento. Dentro de esto, podemos ver el grupo de unidades, es decir, los operadores invertibles.
Entonces, un “operador con un determinante” es un operador invertible que difiere de la identidad por uno de clase de seguimiento.
Para más detalles, recomiendo el libro “Trace ideales and their application” de Barry Simon (MR541149) y el artículo “Sobre el tipo de homotopía de ciertos grupos de operadores” de Richard Palais (MR0175130).
Pero definir el determinante de un operador arbitrario es, por supuesto, imposible. Uno siempre puede imaginarse una renormalización para un especial pero no habrá un sistema que funcione para todo: obviamente det(I) = 1 pero luego det(2I) = ?
(También debo decir que elegí espacios de Banach para facilitar la exposición. Se puede generalizar esto a espacios topológicos localmente convexos, pero eso implica el manejo de materiales nucleares, por lo que se recomienda precaución).
Hay muchas sutilezas que debes tener en cuenta. En primer lugar, las “matrices infinitas” no están bien definidas como transformaciones lineales sin hipótesis adicionales. Un caso típico en combinatoria es que la matriz es triangular y solo te interesa cómo actúa sobre un espacio de series de potencias formales; la topología t-adic es lo que le da convergencia aquí. Un caso típico en el análisis es que está describiendo un operador lineal acotado entre espacios de Hilbert separables, y luego está la noción de base ortonormal con la que trabajar. En cualquier caso, necesita una topología en el espacio vectorial subyacente para dar sentido a las sumas infinitas.
Si define el determinante de una matriz como el producto de sus valores propios, entonces se encuentra con un problema inmediato: las “matrices infinitas” no necesariamente tienen ninguna, incluso en un campo algebraicamente cerrado. Y en el mejor de los casos, por ejemplo, autoadjunto compacto, los valores propios tienden a cero y su producto es cero. También creo que se puede demostrar que no existe un homomorfismo continuo no trivial GL(H) -> C para H en un espacio de Hilbert. Finalmente, si piensas en el determinante en términos de potencias exteriores, entonces no es difícil ver que para un espacio H de dimensión infinita, sin importar cómo quieras definir las potencias exteriores de H, siempre deben ser de dimensión infinita.
Habiendo dicho todo eso, hay una noción de determinante regularizado en la literatura, pero me temo que no podría decirles nada al respecto.
valoraciones y comentarios
Tienes la opción de añadir valor a nuestra información añadiendo tu veteranía en las aclaraciones.